Локально оптимальный путь.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток. Хочется решить следующую задачу:
Пусть у нас есть космический корабль массы $m$ в некоторой начальной точке $A$, и он перемещается в гравитационном поле Солнца(расположенного во вполне определенной точке $C$, которую положим за начало координат) с использованием реактивной тяги, выбрасывая газы с постоянной относительной скоростью по модулю $u$. И нам нужно попасть в точку $B$, причем путь необходимо выбрать оптимально, а именно так чтобы и топлива и времени ушло не слишком много (ясно, что это 2 противоположных друг другу фактора). Для того, чтобы точнее описать последнее предложение введем функцию оценки
$f(m, t) = kt^2 + pm^2$, где $k$ - коэффициент значимости времени, а $p$ коэффициент значимости топлива, ясно что когда нам важно только топливо ответом будет элептическая орбита, а когда только время прямая линия. Ну и еще важный момент, для упрощения жизни считаем что корабль очень тяжелый и изменением массы в ходе полета можно пренебречь.
0) Задача, конечно, решается вариационно, но лично мне совсем не охота этим заниматься, поэтому я придумал альтернативный вариант решения, но не уверен в его правомочности (и он еще не доведем до конца), поэтому я и решил спросить.

Для начала введем фазое пространство нашей задачи, и зададимся целью ввести в нем координатную систему, для выделим 4 переменные величины, вполне характеризующие текущее состояние корабля, а именно координаты по осям и проекции скорости, так у нас получается, что мы каждой точке фазового пространства сопоставляем по 4 числа, что задает в общем говоря, некоторую координатную систему.

1) Теперь заздимся целью ввести в наше пространство метрику, причем попробуем сделать это на основе функции оценки(хотелось бы чтобы расстояние между точками $1$ и $2$ в фазовом пространстве выражало бы "стоимость" перехода из состояния $1$ в состояние $2$.

Для этого рассмотрим перемещение корабля в реальном пространстве, между двумя бесконечно близкими точками (пусть в исходной точке тело имело координаты $x, y$, и следущие проекции скоростей $v_x, v_y$, тогда координаты получили бесконечно малые приращения $dx$, $dy$, ровно тоже самое касается проекций скоростей на оси $dv_x$, $dv_y$, однако эти приращения не являются независимыми:

Выразим дифференциал времени:
$dt = \frac{ds}{|\vec{v}|} = \sqrt{\frac{dx^2 + dy^2}{v_x^2 + v_y^2}}$

Теперь попробуем найти дифференциал массы, которую выбросил двигатель, для этого запишем уравнение Мещерского в проекции на две оси координат (учитывая что Солнце находится в начале координат), так как мы пренебрегаем изменением массы тела, то тогда легальным будет следущее обозначение: $\alpha = \gamma Mm$ - произведение гравитационной постоянной, масс корабля и Солнца, тогда:
$\left\{ \begin{array}{rcl} & m\frac{dv_x}{dt} = \frac{\alpha x}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} - u\cos\varphi \frac{dm}{dt}& \\ & m\frac{dv_y}{dt} = \frac{\alpha y}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}} - u\sin\varphi \frac{dm}{dt}& \\ \end{array} \right.$
Где $\varphi$ - некий произвольный угол, определяющий в какую именно сторону извергаются газы (сопло можно крутить во все стороны).
Из этой системы можно выразить $dm$:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &\cos\varphi dm = \frac{\alpha xdt}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} u} - \frac{m dv_x}{u} & \\ &\sin\varphi dm = \frac{\alpha ydt}{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} u} - \frac{m dv_y}{u} & \\ \end{array} \right.$

В общем, если решать эту систему то получается, что-то вроде этого:

$dm = \frac{\alpha y dt - m(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}dv_x}}{\sqrt{(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}}u^2 - (\alpha x - m(x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} dv_x)^2}$

И теперь подставим все это в выражение форму функции оценки, я планирую получить метрику в фазовом пространтве, а затем с ее помощью провести геодезическую, которая будет локально самой короткой, а значит одним из оптимальных решений, хотя я не уверен в том, что не написал всякий бред.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Поправьте последнюю формулу и уж заодно исправьте орфографические ошибки хотя бы в терминологии ("элептическая орбита").

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.