Справедливость индукции

[Rusit8800]

Вроде тему понял, но не полностью.
Допустим докажем формулу $\cfrac{n(n+1)}{2} = 1+2+3+...+n$. Наверняка все начнут подставлять значение $n=1$, но почему не два или не три?
Ок, подставим $n=1$ , получается $\cfrac{1(1+1)}{2}=1$ - все верно.Ну взяли бы $n=2$ , $\cfrac{2(2+1)}{2}=3$ все и так вышло.
Дальше вместо $n$ подставляем $n+1$ и у нас получается верное равенство
$(1+2+3+...+n)+(n+1) = \cfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)=(n+1)(\cfrac{n}{2}+1)=\cfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

Вроде бы все доказал, но все равно не понятны следующие вещи:
1.Почему если индукция равна при $n$ и $n+1$, то она равна всегда? А если при $n+2$?
2.Почему первоначальное берут при $n=1$?
3.Имеет ли смысл делать проверку на справедливость если правая и левая части не равны при $n=1$?

[demolishka]

Для начала четко сформулируйте принцип индукции.

[Mihaylo]

С конца:
3. Закономерность должна быть справедлива для всех мат. объектов некоторого множества. Если хотя бы один из объектов не удовлетворяет закономерности, то закономерность неверна. Логично?
2. Для удобства. Можете взять $n=10000$, главное, чтобы это было любое конечное число.
1. Тут такой тонкий момент: при применении принципа утверждается, что $n$ - это произвольное число от некоторого малого до некоторого большого. Доказываем для произвольного числа и потом доказываем для следующего числа, следующего за произвольным. Так, если число взято $n=1$, то значит закономерность имеет место для $n=2$, далее следует справедливость для $n=3$ и т.д. - для всех натуральных чисел - нет необходимости их все проверять.
Недостаточно доказать, что закономерность справедлива при $n$ и при $n+1$, т.к. может оказаться, что закономерность справедлива лишь для некоторых натуральных чисел, начиная с $M$, а не для всех натуральных чисел. Поэтому проверяем базис.
Ну сами подумайте, что будет, если закономерность имеется для $n$ и $n+2$, но отсутствует для $n$ и $n+1$?

[arseniiv]

Mihaylo в сообщении #1074078 писал(а):

Закономерность

Так можно только спутать все карты. Какая «закономерность»? Просто утверждение о натуральном числе. Лучше, кстати, на будущее дать ему имя — например, $P$. $P(42) = {}$ «утверждение верно для $42$».

Mihaylo в сообщении #1074078 писал(а):

Для удобства. Можете взять $n=10000$, главное, чтобы это было любое конечное число.

…и доказывать отдельно то, что утверждение верно для всех меньших 10000, ога.

Я поначалу написал длиннопост, но согласен с demolishka, что лучше пускай Rusit8800 сначала запишет своё понимание матиндукции. Тогда станет ещё яснее, что именно нуждается в объяснении.

[Rusit8800]

demolishka в сообщении #1074063 писал(а):

Для начала четко сформулируйте принцип индукции.

Определение я знаю, но про принцип я даже не знаю, что имеется в виду.

-- 16.11.2015, 23:05 --

Значит для $n$ берут меньшее число, чтобы доказать индукцию для всех больших чисел, так?

[arseniiv]

Принцип математической индукции — это просто его длинное название. Не темните, расскажите определение, как вы его понимаете.

-- Вт ноя 17, 2015 00:14:28 --

Rusit8800 в сообщении #1074097 писал(а):

Значит для $n$ берут меньшее число, чтобы доказать индукцию для всех больших чисел, так?

«Доказывать индукцию» не надо, потому что это неизвестно что. Доказать можно какое-нибудь утверждение.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Просьба ответить на многократно заданный вопрос о принципе (методе) мат. индукции.

Затем сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.