Способы разбиения числового множества

[Ktina]

а) Числа от 1 до 30 разбили на десять троек и в каждой тройке взяли наименьшее
число. Какое наибольшее значение может принимать сумма взятых чисел?

б) Сколькими способами можно разбить числа от 1 до 30 на десять троек так, чтобы сумма наименьших чисел, взятых в каждой тройке, принимала наибольшее возможное значение?

[Shadow]

a) 145
b) единственным

[Ktina]

Shadow в сообщении #1073614 писал(а):

b) единственным

Почему?

[Shadow]

В любой тройке пусть $a_i<b_i<c_i$ Поскольку все числа разные, то $a_i+b_i+c_i \ge 3a_i+3$

Причем равенство достигается только если $b_i=a_i+1,c_i=a_i+2$ Тоесть, если числа в тройке последовательные.

Ну и сложением всех неравенств получаем $\dfrac{30\cdot 31}{2}\ge 3S_a+30$

Откуда получается и максимум суммы. Причем равенство достигается, если во всех тройках - последовательные числа.

Есть число 1. И оно может быть только в компании 2 и 3, и т.д

[Ktina]

Shadow
Спасибо!