Момент инерции относительно оси.

[karandash_oleg]

Найти момент инерции относительно оси $Oz$ однородного тела, ограниченного поверхностями

$z=0,x=0, y=\frac{1}{\sqrt{3}}x, z=1+x^2+y^2, x^2+y^2=1$

${{I_z} = \iiint\limits_U {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\rho \left( {x,y,z} \right)dxdydz}$

Я так понимаю, что раз тело однородное, значит плотность равна константе $\rho \left( {x,y,z}\right)=C$

Пока что не могу понять, что же за область имеется ввиду. Точно ли полное условие?





Вторая картинка неудачная, потому как нас интересует круг радиуса $1$. Но так Геогебра нарисовала.
При переходе к повторному интегралу не очевиден промежуток интегрирования по $y$ и по $x$ на плоскости $xOy$ не видно -- какой из двух секторов круга нужен (или оба). Там два больших сектора, два маленьких. Я имею ввиду маленькие.
В промежутках интегрирования по $z$ уверен.

$$I_z=C\cdot \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}dx\int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{3}}}dy\int_{0}^{1+x^2+y^2}dz+C\cdot \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^1dx\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}dy\int_{0}^{1+x^2+y^2}dz$$

Верно ли это?

[karandash_oleg]

$x^2+y^2$ Забыл

-- 14.11.2015, 15:38 --

Под интегралом*

[Otta]

Условие неудачное, поскольку набор поверхностей ограничивает как минимум две области с разными ответами. Если приписать что-то в духе $y\ge 0$, будет лучше.

Картинка тоже кривая. Почему два параболоида?

Пределы интегрирования неверные. Рекомендация: пишите сразу в цилиндрических координатах, так Вы поломаетесь. Ну да, а понять, что сверху, что снизу, что внутри, что снаружи, разумеется, надо.

[karandash_oleg]

Спасибо. На картинке красный параболоид и синий цилиндр. Параболоид один. А по оси апликат верно ли пределы расставлены?

[Otta]

karandash_oleg в сообщении #1073377 писал(а):

На картинке красный параболоид и синий цилиндр. Параболоид один

А, ну тогда нормально. По оси аппликат - конечно, от плоскости до параболоида, там без вариантов.

[redicka]

Здесь картинка по-лучше.

[karandash_oleg]

Спасибо. В цилиндрических координатах действительно гораздо удобнее.

У меня есть несколько вариантов ответа (из-за того, что не пойму -- что за область подразумевается. Как думаете, что имелось ввиду?

1) $I_z=C\cdot \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}}dx\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{1+r^2}dz$

2) $I_z=C\cdot \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi}dx\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{1+r^2}dz$

3) $I_z=C\cdot \displaystyle\int^{\frac{7\pi}{6}}_{\pi}dx\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{1+r^2}dz$

4) $I_z=C\cdot \displaystyle\int_{\frac{7\pi}{6}}^{2\pi}dx\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{1+r^2}dz$

5) $I_z=C\cdot \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}}dx\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{1+r^2}dz+C\cdot \displaystyle\int^{\frac{7\pi}{6}}_{\pi}dx\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{1+r^2}dz$

6) $I_z=C\cdot \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi}dx\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{1+r^2}dz+C\cdot \displaystyle\int_{\frac{7\pi}{6}}^{2\pi}dx\int_{0}^{1}r^3dr\int_{0}^{1+r^2}dz$

[Otta]

Или 1 или 2.

[karandash_oleg]

Otta в сообщении #1073508 писал(а):

Или 1 или 2.

Спасибо! Но ведь ограничение $y\le 0$ как раз эти два варианта оставляет. А если его нет, то все шесть могут быть или нет?

[Otta]

У Вас не было дополнительных ограничений. Я смотрю на Вашу задачу.

-- 15.11.2015, 02:02 --

Можно брать 3 и 4, конечно, но у них тот же момент инерции. Они такие же.

[karandash_oleg]

Otta в сообщении #1073512 писал(а):

У Вас не было дополнительных ограничений. Я смотрю на Вашу задачу.

-- 15.11.2015, 02:02 --

Можно брать 3 и 4, конечно, но у них тот же момент инерции. Они такие же.

Хорошо, понятно, спасибо!