Влечет ли слабая сходимость сходимость средних почти всюду?

[Salvador]

$(X,\mu)$ - стандартное вероятностное пространство (отрезок $[0,1]$ с мерой Лебега).
Пусть заданы унитарный оператор $U\colon L^2(X,\mu) \to L^2(X,\mu)$ и некоторая фиксированная последовательность $(r_n)$ такая, что $U^{r_n}\to V$ в слабой операторной топологии: $\langle U^{r_n}f,g \rangle \to \langle Vf,g \rangle$ для любых $f,g\in L^2(X,\mu)$.

Для $f\in L^2(X,\mu)$ обозначим $f_k:= U^{r_k}f$.

Верны ли следующие утверждения:

1) Для любой функции $f\in L^2(X,\mu)$, средние $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f_k$ сходятся к $Vf$ почти всюду?

2) Для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что $\|f\|_{2}< \delta$ влечет $ \mu(\{ x\in X : \limsup_n |\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f_k(x)| > \varepsilon \}) < \varepsilon $?

Можно изначально заменить $U^{r_n}\to V$ на произвольную её подпоследовательность, но фиксированную, т.е. она не должна зависеть от $f$.
Интересен положительный ответ на второй вопрос.

Для произвольной ограниченной последовательности $(f_n)\subset L^2(X,\mu)$ (не обязательно вида $f_n= U^{r_n}f$) средние сходятся почти всюду лишь для некоторой подпоследовательности (Komlòs и Révész). Аналогично, Банах-Сакс говорят, что слабая сходимость $f_n$ влечет сильную сходимость средних для подпоследовательности.

Но можно ли сказать что-то о средних для всей последовательности в предположении, что она имеет вид $(r_n)$ и сходится слабо?

[Salvador]

*Можно ли сказать что-то о средних для всей последовательности в предположении, что она имеет вид $f_n=U^{r_n} f$ и сходится слабо?

[Salvador]

На оба вопроса ответ отрицательный.

Если $(r_n)$ - лакунарная последовательность (т.е. $r_{n+1}>ar_n$ для некоторого $a>1$), то для каждого сохраняющего меру преобразования $T\colon X\to X$ и любого $\delta>0$ найдется множество $A\subset X$, $0<\mu(A)<\delta$, такое что

$$\limsup_n \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \chi_A (T^{r_k}x)=1$$

для почти всех $x\in X$.

Akcoglu M, Bellow A, Jones RL, Losert V, Reinhold–Larsson K, Wierdl M (1996) The strong sweeping out property for lacunary sequences, Riemann sums, convolution powers, and related matters. Ergodic Theory Dynam Systems 16(2):207–253.