Один вопрос о подпространствах гильбертова пространства

[vhz]

Может ли замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ быть множеством первой категории в пространстве $H$? Т.е., может ли это подпространство быть представлено в виде счетного объединения нигде не плотных в $H$ множеств? С одной стороны, согласно теореме Бэра о категории, полное метрическое пространство не может быть объединением счетного числа нигде не плотных множеств. С другой стороны, например, при $a < c < d < b$ пространство $L_2 (c,d)$ можно отождествить с замкнутым подпространством пространства $L_2 (a,b)$, продолжая функции из $L_2 (c,d)$ нулём на $(a,b)$. Эти пространства не совпадают, и, следовательно, $L_2 (c,d)$ должно быть множеством первой категории в $L_2 (a,b)$ (Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ. 1984. С. 462, Теорема 3). Запутался во всём этом совершенно. Помогите, пожалуйста, разобраться.

[g______d]

Упражнение: замкнутое подпространство в $H$, не совпадающее с $H$, нигде не плотно в $H$.

Указание: в любом шаре есть точка, не принадлежащая подпространству. Расстояние от этой точки до подпространства положительно.

[Brukvalub]

vhz в сообщении #1072838 писал(а):

С одной стороны, согласно теореме Бэра о категории, полное метрическое пространство не может быть объединением счетного числа нигде не плотных множеств.

Так здесь речь идет о нигде не плотных подмножествах именно в этом метрическом пространстве, а не в каком-то объемлющем. Свойство нигде не плотности не является внутренним свойством подмножества, оно зависит от того, каково объемлющее пространство. В вашем случае объемлющим пространством является то "большое" Гильбертово пространство, в котором вы взяли замкнутое подпространство. Даже само взятое подпространство будет нигде не плотным, что уж говорить о кусочках этого подпространства!

[vhz]

g______d, Brukvalub, спасибо вам огромное!