Эйлерова характеристика многогранника.

[Solly]

Выпуклым многогранником называется фигура, составленная из конечного числа плоских многоугольников так, что
1)от одного многоугольника к другому можно перейти, идя по многоугольникам, имеющие общие стороны или отрезки сторон;
2)вся фигура лежит по одну сторону от плоскости каждого из составляющих ее многоугольников. [стр. 14; А.Д. Александров, Выпуклые многогранники; 1950].
Под невыпуклым многогранником я понимаю многогранник не являющийся выпуклым.

Замкнутый выпуклый многогранник гомеоморфен сфере [стр. 58; А.Д. Александров, Выпуклые многогранники; 1950]. Значит он имеет эйлерову характеристику равную двум.

На этой картинке показан один из звездчатых многогранников:

(Оффтоп)

Оказывается его ЭХ равна минус шести. Вот хоть меня по голове стукни, я здесь видеть буду только сферу, но никак не сферу с четырьмя ручками. В литературе [напр. P. Cromwell, Polyhedra; p.258] дается описание модифицированной формулы Эйлера, в ней учитывается что-то вроде числа покрытий гранями, плотность многогранника, то есть какие-то вершины считаются, какие-то нет. В общем я уверен от этого гомотопический тип сферы не изменится. Может есть люди, которые глубже понимают определение многогранника?

[Munin]

Solly в сообщении #1072822 писал(а):

Оказывается его ЭХ равна минус шести. Вот хоть меня по голове стукни, я здесь видеть буду только сферу, но никак не сферу с четырьмя ручками.

Ручки сразу - это сложно.

Лучше скажите, вот если вы обернёте сферу вокруг точки два раза - то какой будет гомотопический тип получившейся фигуры? И какая эйлерова характеристика?

[мат-ламер]

Solly в сообщении #1072822 писал(а):

Замкнутый выпуклый многогранник гомеоморфен сфере

А ежели он невыпуклый, но без "дырок"? Предлагаю подумать на тему, что важнее для гомеоморфности - наличие или отсутствие выпуклости, или наличие или отсутствие дырок.

-- Пт ноя 13, 2015 08:11:10 --

Solly в сообщении #1072822 писал(а):

Оказывается его ЭХ равна минус шести.

Тут ещё вопрос, как считать количество, допустим, рёбер. Тут возможны нюансы.

[g______d]

Я не очень понимаю, как считали ЭХ. У додекаэдра она равна нулю двум. На каждой грани додекаэдра построили пирамидку. Рёбра пирамидки сокращаются с гранями пирамидки, убирается одна грань (основание), добавляется одна вершина. В сумме ничего не меняется.

[Xaositect]

Там гранями считаются звезды. Соответственно, вершины додекаэдра за вершины не считаются.

[Munin]

По аналогии со звездой, которую можно воспринимать как окружность, несколько раз намотанную на точку (и поэтому негомотопную обычной окружности), я так понимаю, звёздчатый многогранник тоже гомотопен сфере, несколько раз намотанной на точку.

-- 13.11.2015 15:30:26 --

На примере пятиконечной звезды: её можно считать как окружность, намотанную два раза, то есть, например, если сгладить её углы, то касательный вектор при обходе звезды делает не один, а два полных оборота.

[Mikhail_K]

Solly можно ответить очень кратко: грани у этого многогранника - не треугольники, а звёзды, включая их внутренние пятиугольники - эти пятиугольники тоже лежат на поверхности. В то же время, каждое ребро внутреннего додекаэдра, по которому звёзды пересекаются, представлено на этой поверхности не в одном экземпляре, а в двух - по одному ребру для каждой звезды. После этого эта поверхность совсем не кажется похожей на сферу, как казалось ТС. Ну а в сферу с ручками её можно развернуть, деформируя в многомерном пространстве.

-- 13.11.2015, 18:04 --

Тот же самый многогранник можно, конечно, воспринимать и как обычный гомеоморфный сфере многогранник с треугольниками в качестве граней. Тогда у него эйлерова характеристика будет как у сферы.

[Solly]

Munin, не ясно мне как окружность наматывать на точку. Если под наматыванием, я так думаю, имеется в виду двулистное накрытие окружности, то это никак не влияет на фундаментальную группу окружности.
Со сферой иначе, нет такого двулистного накрытия сферы сферами. Однако сферу можно пережать по экватору, получив букет двух сфер и накрыть один раз каждую компоненту. Это не честно будет.
А как еще обматывать сферу? Покрыть сферой? Два раза покрыв сферу, я получу сферу.

Вообще говоря спасибо за наводящие вопросы и рассуждения, надеюсь это поможет хоть что-то понять.

Вопрос на самом деле такой. Вот вам дали такой многогранник и сказали посчитать количество вершин, ребер и граней. Вы понимаете, что многогранник состоит из многоугольников и внутри него пустота. Далее вы начинаете усидчиво считать. Потом к вам подходят и говорят, что так считать неверно, надо считать иначе, мол так мы определили. Ладно, посчитали как сказали и получили ЭХ, но уже не того многогранника что у вас в руках, а чего-то другого. ЭХ чего вы посчитали?

Удачный пример с пятиконечной звездой на плоскости. Похоже, мы смотрим на прообраз погружения, который является выпуклым пятиугольником (окружность), и считаем его ЭХ.

[INGELRII]

Ну просто та штука, что на рисунке - это самопересекающаяся поверхность. Неудивительно, что при попытке посчитать ее характеристику получается фигня. Чего ж еще и ждать-то при попытке посчитать то, что не определено? Вот если вы ее переместите в пространство размерности побольше, чем три, и бережно малыми шевелениями деформируете ее так, чтобы самопересечения устранить, то и обнаружите, что это и есть сфера с четырьмя ручками.