Описанные окружности. Хитрющая задача

[boriska]

В треугольнике $KLM$ угол $L$ тупой, а сторона $KM$ равна $6$. Найдите радиус описанной около треугольника $KLM$ окружности, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины $K, M$ и точку пересечения высот треугольника $KLM$.

Верно ли решение?

Дополнительные обозначения. $N$ - точка пересечения высот треугольника $KLM$, $M_1$ - точка пересечения продолжения стороны $ML$ и высоты $KN$, $K_1$ - точка пересечения высоты $MN$ и продолжения стороны $KL$. $O_1$ - центр описанной окружности треугольника $KLM$, $O_2$ - центр окружности, проходящей через точки $KNM$.



У четырехугольника $NM_1MK_1$ два угла прямые, поэтому углы $KNM$ и $KLM$ в сумме равны $180°$ (угол $M_1LK_1$ вертикальный к углу $KLM$). Угол $KNM$ вписан в окружность с центром в точке $O_2$ и опирается на дугу $KM$ этой окружности. Угол $KLM$ вписан в окружность с центром в точке $O_1$ и опирается в ней на дугу $KM$ (большую, которая лежит снаружи окружности с центром в точке $O_2$). Поскольку $O_2$ лежит на окружности с центром в точке $O_1$, то угол $KO_2M$ вписан в окружность с центром в точке $O_1$ и опирается на ту же дугу, что и угол $KLM$. При этом он является в окружности с центром в точке $O_2$ центральным углом для дуги $KM$, то есть он в 2 раза больше угла $KNM$.

Если обозначить угол $\angle KNM =\alpha$; то угол $\angle KO_2M=3\alpha=KLM = 180° - \alpha$; откуда $\alpha= 60°$;

Угол $\angle KLM = 120°$,

и - по теореме синусов,

$6 = 2*R*\sin(120°)$; $R = 2\sqrt{3}$

Ненужное следствие - радиусы окружностей равны, и центр $O_1$ лежит на окружности с центром в точке $O_2$

[se-sss]

Цитата:

У четырехугольника $NM_1MK_1$

Какой-то странный четррёхугольник. Опечатка?

[iancaple]

boriska в сообщении #1072282 писал(а):

$NM_1MK_1$

Конечно опечатка.$NM_1LK_1$ А так совершенно правильное решение.

[OlegCh]

iancaple в сообщении #1072330 писал(а):

Конечно опечатка.

И ещё опечатка:

boriska в сообщении #1072282 писал(а):

$\angle KO_2M=3\alpha$

Должно быть $2\alpha$