Решение задач в свободное время

[StealingKoT]

Здравствуйте.

По дороге на работу в автобусе я читаю книги на телефоне или бороздю соц.сети. Последнее чаще всего. И как следствие - начал замечать, что извилины в голове выпрямляются. Не желая превратиться в овощ, я решил, что лучшим выходом из сложившейся ситуации будет "углубить и усугубить" свои познания в области математического анализа. Для выполнения поставленной задачи был выбран "Курс математического анализа" Ю.Г. Решетняка. Возможно, это не самый лучший вариант, но другие учебники мне не понравились. Так вот, главным недостатком выбранного четырёхтомника на мой взгляд, является отсутствие ответов к задачам. А чтение теории без решения задач - занятие почти бесполезное. Да и просить помощи в "реальном мире" в этих вопросах особо не у кого.

Как мне показалось, данный форум предназначен, в частности, и для таких ситуаций. Или нет?..

Last, but not least: я не являюсь студентом, поэтому "АААААААААААА!!!!11 СПОСИТЕ!!!1 ЗАЧОД ЧЕРЕС ЧАЗ!!! ПАМАГИТЕ РЕШИДЬ!!!1111" и тому подобной ереси не будет.

И если админы не будут возражать, то вот первая задача и попытка решения.

1. Доказать, что для любых множеств $A$, $B$ справедливы равенства
1) $A\setminus B = A\setminus(A\cap B)=(A\cup B)\setminus B$

Если я правильно понял определение разности множеств, то результатом $A\setminus B$ будут элементы множества $A$ принадлежащие только ему.
Из множества $A$ вычитаются элементы, входящие в область пересечения $A$ и $B$ и остаются лишь элементы, принадлежащие только $A$ .
$(A\cup B)\setminus B$ если из объединения вычесть $B$, то согласно определению разности множеств, останутся элементы, принадлежащие только $A$
По моему так.

2) $A\setminus (A\setminus B) = A\cap B$
Результатом $A\setminus B$ будут элементы множества $A$ принадлежащие только ему. Если теперь их вычесть из $A$, то останутся элементы этого множества, входящие в $A\cap B$, но без элементов $B$. Или я что-то не так понял?

[provincialka]

StealingKoT в сообщении #1072215 писал(а):

останутся элементы этого множества, входящие в $A\cap B$, но без элементов $B$.

Это как? Элементы пересечения являются элементами $B$.

А вообще-то суть не в этом. В таких задачах предполагается формально-логическое доказательство типа "Пусть x принадлежит <левой части>, тогда он принадлежит <правой части>, и наоборот". Если же вам нужно просто для себя понять, что значат эти равенства -- то сойдет (кроме последней фразы).

[Munin]

StealingKoT в сообщении #1072215 писал(а):

Так вот, главным недостатком выбранного четырёхтомника на мой взгляд, является отсутствие ответов к задачам.

Это часто достоинство. Нечего заранее заглядывать в ответ и успокаиваться. Зато возникают навыки самопроверки.

Приведу пример из другой области: игра го. В ней большинство задач принято давать без ответа. Дело в том, что пока решающий не уверен, что решил задачу правильно, это бесполезно: можно считать, что он её не решил. (Разумеется, можно быть и уверенным по ошибке, но такого обычно не бывает: задачи сложные, и простые решения для них очевидно не годятся.)

В математике похожая ситуация: можно просто что-то "показать" (самому себе, и убедиться в правильности), а можно доказать. Доказать - значит, построить строгое рассуждение, в каждом шаге которого сомневаться невозможно. При этом, в совершенно формальном смысле, математики требуют вообще не использовать никакие даже самые очевидные шаги, а использовать только такие, которые входят в список принятых аксиом, или уже доказанных на основе этих аксиом теорем.

Курс Решетняка - предназначен для математических факультетов, и поэтому к его задачам стоит подходить максимально строго. Иначе потеряется смысл брать именно этот курс.