2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 бра и кет векторы
Сообщение10.11.2015, 21:39 


22/06/12
417
Нужна ваша помощь.

Назовём вектор буквой $x$ принадлежащий векторному действительному пространству, а ковектор буквой $x^*$ принадлежащий дуально-сопряжённому векторному действительному пространству.
(самый важный вопрос 3, но всё же спрошу всё, чтоб был понятен ход моих рассуждений)
1) Правильно ли я понимаю что в метрическом пространстве (пусть евклидовом) существует изоморфизм между векторным пространством и дуальным к нему, и мы можем написать $x=x^*$?
2) Если кроме того, базис в векторном пространстве выбран ортогональным (видимо тогда и в ортогональном пространстве базис будет ортогональным), то мы можем не различать верхние и нижнее индексы?
Заменим действительное пространство на комплексное. $x$ будем теперь называть кетвектором (спинором если размерность пространства = 2), а бравектором (коспинором если размерность пространства = 2).
3) Изоморфизма теперь не существует, в этом и кроется глубокий смысл того, что мы различаем бра и кет вектора (скажем в квантмехе), но по теореме Риса-Фреше можно хотя бы соорудить скалярное произведение, то есть сделать пространство метрическим. Верно?
4) Верхние и нижние индексы не различаем если выбран ортогональный базис. Верно?

Я исхожу из этого пункта

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: бра и кет векторы
Сообщение10.11.2015, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
illuminates в сообщении #1072144 писал(а):
$x$ будем теперь называть кетвектором (спинором если размерность пространства = 2)

Спиноры - это не просто векторы в двумерном пространстве. Это нечто большее: они преобразуются определённым образом при поворотах физического пространства. И кстати, при этом не все из них имеют комплексную размерность 2 - их на самом деле большой мешок разных. Вы, видимо, подразумеваете спиноры Паули.

illuminates в сообщении #1072144 писал(а):
Изоморфизма теперь не существует

Существует, просто надо кроме замены столбца на строку брать комплексные сопряжения от компонент.

illuminates в сообщении #1072144 писал(а):
Я исхожу из этого пункта

Не читайте рукипедию. Или англопедию, или нормальные учебники, что лучше всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: бра и кет векторы
Сообщение12.11.2015, 00:07 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Я, конечно, не специалист, но.
illuminates в сообщении #1072144 писал(а):
1) Правильно ли я понимаю что в метрическом пространстве (пусть евклидовом) существует изоморфизм между векторным пространством и дуальным к нему, и мы можем написать $x=x^*$?

Изоморфизм существует, но написать так нельзя. От того, что между двумя пространствами появился изоморфизм (после выбора базиса), они не станут равными.
Цитата:
3) Изоморфизма теперь не существует

Если перед Вами конечномерное векторное пространство $V$ над любым полем, то любой выбор базиса в $V$ устанавливает изоморфизм между $V$ и двойственным пространством $V^*$ (это типа определение конечномерности). От того, вещественное пространство или комплексное, не зависит вообще ничего.

 Профиль  
                  
 
 Re: бра и кет векторы
Сообщение13.11.2015, 07:18 
Заслуженный участник


30/01/09
5058
apriv в сообщении #1072484 писал(а):
От того, что между двумя пространствами появился изоморфизм (после выбора базиса), они не станут равными.

Изоморфизмы разные бывают. Бывают случайные, т.е. зависящие от выбора базиса (допустим, изоморфизм между $X$ и $X^*$). Бывают и естественные, т.е. не зависящие от выбора базиса (допустим изоморфизм между $X$ и $X^{**}$). Хорошо бы, если бы топикстартер привёл примеры к своим умозаключениям. Иначе непонятно, как он смог всё это вывести из безобидного текста в Википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: бра и кет векторы
Сообщение13.11.2015, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
мат-ламер в сообщении #1072895 писал(а):
Бывают случайные, т.е. зависящие от выбора базиса (допустим, изоморфизм между $X$ и $X^*$). Бывают и естественные, т.е. не зависящие от выбора базиса (допустим изоморфизм между $X$ и $X^{**}$).

Нельзя ли развернуть эти определения?

 Профиль  
                  
 
 Re: бра и кет векторы
Сообщение14.11.2015, 00:08 
Заслуженный участник


08/01/12
915
А разгадка проста: сопоставление $V\mapsto V^{**}$ продолжается до ковариантного функтора, а сопоставление $V\mapsto V^*$ продолжается до контравариантного функтора: на самом деле это функтор из категории левых векторных пространств в категорию правых векторных пространств, которая ей противоположна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group