Число из ненулевых цифр

[mr.tumkan2015]

Придумайте такое число $ABCD$ из четырех различных ненулевых цифр, чтобы оно делилось на трехзначное число $BCD$, число $ BCD$ делилось на двузначное число $CD$, а число $CD$ делилось на $D$.

Пока что только такие соображения есть.

$ABCD=k\cdot BCD=1000A+BCD$

$BCD=100B+CD=n\cdot CD$

$CD=10C+D=m\cdot D$

$ABCD=1000A+100B+10C+D$

$ABCD=(k-1)nmD+(n-1)mD+mD$

$ABCD=mD((k-1)n+n)=mDk$

Значит число делится на свою последнюю цифру!

Пните, плиз, в нужном направлении!

[venco]

Самое первое равенство - какой вывод можно сделать о связи $A\cdot1000$ и $BCD$?

[mr.tumkan2015]

venco в сообщении #1071884 писал(а):

Самое первое равенство - какой вывод можно сделать о связи $A\cdot1000$ и $BCD$?

$1000A=(k-1)BCD$

Значит $BCD=125$, скорее всего. Потому как $k\le 10$, $1000=125\cdot 8$. Ну тогда $k=2$.

Верно ли? Вроде все сходится. Но тогда первая цифра может быть любой из набора $\{3,4,6,7,8,9\}$

[venco]

mr.tumkan2015 в сообщении #1071886 писал(а):

Значит $BCD=125$

Не обязательно, но часть решений вы нашли.

[mr.tumkan2015]

venco в сообщении #1071890 писал(а):

mr.tumkan2015 в сообщении #1071886 писал(а):

Значит $BCD=125$

Не обязательно, но часть решений вы нашли.

Может еще быть число кратное $125$.

Значит ответ такой: это могли быть числа

1) $1000x+125$, где $x=3,4,6,7,8,9$

2) $1000x+375$, где $x=3,6,9$

3) $5675$

Все ли варианты перечислил? Верно ли?

[venco]

Почти всё верно, только цифры не должны повторятся.

[Null]

venco в сообщении #1071908 писал(а):

Потому как $k\le 10$

Не похоже на правду. 9 225

[mr.tumkan2015]

venco в сообщении #1071908 писал(а):

Почти всё верно, только цифры не должны повторятся.

Спасибо, разобрался!

-- 10.11.2015, 12:51 --

Null в сообщении #1071947 писал(а):

Не похоже на правду. 9 225

Две двойки повторяются

[Null]

Докажите что $k\le 10$. Вы этого не сделали.

[mr.tumkan2015]

Null в сообщении #1072004 писал(а):

Докажите что $k\le 10$. Вы этого не сделали.

Да, $k$ может быть и больше десяти, спасибо, что поправили.

Кстати, а важно ли какие значения принимает $k$ в задаче или вовсе нет? Мне кажется, что нет. Но свою ошибку признаю, разумеется.

[Aritaborian]

(Deleted.)

[mr.tumkan2015]

1) $1000x+125$, где $x=3,4,6,7,8,9$

2) $1000x+375$, где $x=6,9$