Внешняя мера и оболочка множества

[ProPupil]

Пусть $E$ - произвольное множество, измеримое или неизмеримое. Пусть далее, $H_E$ - такое $G_\delta$-множество, содержащее $E$, что $\operatorname{mes}^\ast E = \operatorname{mes} H_E$.

Существование такого множества можно доказать, и доказательство у меня присутствует. Задача состоит в следующем:

Доказать, что для любого измеримого множества $A$ имеет место равенство $\operatorname{mes}^\ast (E \cap A) = \operatorname{mes} (H_E\cap A)$.

C одной стороны, это довольно очевидное следствие предыдущего утверждения, но с другой хотелось бы иметь более строгое доказательство.

Моя попытка: По определению внешней меры существуют такие открытые множества $V_n \supset E \cap A$, что $\operatorname{mes}^\ast (E\cap A) > \operatorname{mes}V_n - \frac{1}{n}$.

Далее я хочу представить $V_n$ в виде $V_n = U_n \cap A$, где $U_n \supset E$.

Если это так, то я сразу смогу подобрать монотонную последовательность уже $V_n$ c нужными мне свойствами, поскольку $H_E = \bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n \cap A$ и можно будет воспользоваться результатом, указанным в начале.

Вопрос: верно ли я рассуждаю7 Если нет, то как можно идти другим путём?