Инерция

[dovlato]

У меня не столько задача, сколько вопрос, для самого себя. Возможно, детский.
Рассмотрим, например, заряженный плоский конденсатор. Если к его центру масс мы приложим силу, параллельную обкладкам,
то устройство начинает разгоняться, и, как следствие, в лабораторной СО между обкладками появляется магнитное поле.
Его нетрудно вычислить, как результат "протекания двух плоских токов". Вместе с индукцией появляется плотность энергии.
Поэтому ускорение у заряженного конденсатора будет меньше, чем у не заряженного.
Всё вроде понятно.
Теперь пусть сила действует уже не вдоль, а перпендикулярно обкладкам. Модель "плоских токов" не действует.
И вот вопрос: что, неужели ускорение изменится?! И вообще - если мы начинаем разгонять (поступательно) произвольную жёсткую систему
зарядов, то может ли её ускорение зависеть от направления приложенной силы? Ау, изотропность..

[Munin]

Вопрос, может быть, не совсем детский. Для полного ответа, может быть, придётся рассматривать энергию атомов обкладок, и механические распорки между обкладками (без которых заряженный конденсатор стабильно существовать не может). Тщательно ещё не считал.

-- 07.11.2015 18:08:01 --

С чего надо начинать считать:
- преобразования Лоренца для электромагнитного поля: ЛЛ-2 § 24;
- преобразования Лоренца для ТЭИ, в том числе для ТЭИ электромагнитного поля: ЛЛ-2 § 33.
При этом надо учитывать, что формулы в ЛЛ-2 в задаче после § 33 даны с досадной опечаткой (на двойку), кочующей из издания в издание. Правильные формулы надо смотреть в задаче после § 6, откуда они и переписаны. А именно:

$$W=\dfrac{1}{1-V^2/c^2}\Bigl(W'+{\color{red}2}\dfrac{V}{c^2}S_x'-\dfrac{V^2}{c^2}\sigma_{xx}'\Bigr).$$

[dovlato]

У меня соображения чисто качественные. Допустим, мы разгоняем один конденсатор вдоль, другой поперёк, причём и сила, и расстояние, на котором она действует - одинаковы.
Если ускорения у них, допустим, были различные, то и энергии, очевидно, тоже должны различаться. А затем, после окончания разгона, мы медленно поворачиваем тот конденсатор,
который был перпендикулярным - вдоль. Очевидно, медленный поворот энергии практически не требует. После этого мы имеем два одинаково ориентированных конденсатора,
с магнитными полями между обкладками. И тогда (предполагаемую) разность в их полных энергиях можно будет объяснить только разной мощностью излучения во время разгона.
Но, с другой стороны, при медленном разгоне излучаемая энергия практически пренебрежимо мала.. Кстати, а что означает "медленный".

[Munin]

Дело в том, что ответ-то очевиден: ускорение не изменится. Масса в СТО изотропна в смысле поворота конденсатора. Так что, ваши рассуждения начиная со второй строчки - ни к чему. Хотя и правильные. (Кстати, не пишите переносов строки внутри абзаца. Получаются неудобные рваные строчки. У других людей другой размер экрана.)

Но вопрос в том, как показать это детально. Масса в составной системе - это вот что такое ($c=1$):

$$\begin{gathered}M=\sqrt{E^2-P^2}\\ \begin{aligned}E=\sum\varepsilon_i+\int W\,dV &&& \quad\mathbf{P}=\sum\mathbf{p}_i+\int\mathbf{S}\,dV\\ W=T^{00} &&& \quad S^i=T^{i0}=T^{0i}\end{aligned}\end{gathered}$$

где суммы берутся по массам и импульсам отдельных точечных частиц, а $T^{\mu\nu}$ - тензор энергии-импульса (ТЭИ) полевой составляющей физической системы.

Мой тезис в предыдущем сообщении состоял в том, что здесь может быть недостаточно рассмотреть отдельные заряженные частицы в конденсаторе, и электрическое поле в нём же. Здесь, может быть, придётся учесть и частицы вещества обкладок конденсатора, и материальные частицы и поля, составляющие механические распорки конденсатора. В них ТЭИ будет не просто ТЭИ точечных частиц, а будет включать в себя напряжения в твёрдом теле, поскольку ТЭИ вообще включает в себя напряжения.

Если всё таким образом написать и учесть, то получится, конечно же, преобразование всех $(\varepsilon_i,\mathbf{p}_i)$ и $T^{\mu\nu}$ по Лоренцу, и поэтому инвариантность массы изолированной системы, и всё окей. Но чтобы это получить, надо всё учесть и ничего не забыть. В этом и интерес задачи.

dovlato в сообщении #1071308 писал(а):

Кстати, а что означает "медленный".

А вот что. Всякие физические величины можно выразить через $f(v^m),f(a^n)$ и так далее. То есть, при уменьшении скорости, ускорения или чего-то ещё подобного, такие величины уменьшаются пропорционально. И при этом, весь процесс растягивается по времени. Внимание: некоторые величины интегральные, то есть, $F\sim\int f(v^m)\,dt,$ так что их степень в конечном счёте оказывается другой, чем у подынтегральной величины. Ну и вот, дальше берётся предел $v\to 0,\quad a\to 0$ и т. п., в котором в ноль уходят и те величины, которые зависели от них в положительной степени. Это и называется "достаточно медленный процесс. На практике, достаточно взять достаточно медленный процесс, чтобы величины, которые желательно сохранить нулём, не выходили из пределов погрешности. Ну и можно совершить процесс и быстрее, если поправки можно контролировать.

[dovlato]

Если я правильно понимаю, процессы в твёрдом теле могут повлиять на ускорение только в течение времени, меньшего времени затухания переходных процессов?

[Munin]

Какие процессы? Как повлиять? Какое это имеет отношение к предыдущему обсуждению?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: по-видимому, это все же сюда.

[dovlato]

Мне сначала показалось, что когда Вы писали о напряжениях и полях в теле, то имели в виду их влияние на ускорение.
Но, видимо, говорилось скорее об особенностях вычисления ТЭИ.

[Munin]

Да, вы правы: второе.

-- 11.11.2015 22:41:12 --

Я подразумеваю, что ускорение достаточно медленно, что не приводит ни к каким заметным деформациям и переходным процессам как в конденсаторе, так и во всей конструкции.

[dovlato]

То есть установившееся ускорение любой (не вращающейся) системы не зависит от направления?
Интуитивно хочется, чтобы было так.

[chislo_avogadro]

dovlato в сообщении #1070966 писал(а):

Вместе с индукцией появляется плотность энергии.

Но появляется ещё и импульс поля, направленный по скорости - т.е. суммарный импульс увеличивается. И дальше надо прикидывать по уже приведённой $M=\sqrt{E^2-P^2}$. Возможно, добавки скомпенсируются.

[Munin]

А при чём здесь "вращающейся"?

Это гарантируется общими теоремами, которые вы почему-то не хотите читать в учебнике.

[dovlato]

Если система вращается, то (если не ошибаюсь), её релятивистская масса растёт.

[oniksofers]

dovlato в сообщении #1072688 писал(а):

её релятивистская масса растёт

Извиняюсь за вторжение в дискуссию,но разве это не распространенное заблуждение, мне как то казалось и помнилось, что масса инвариант все таки.

[Munin]

Ну и что? Всё равно эта масса одинаковая по всем направлениям.

-- 12.11.2015 18:30:21 --

oniksofers в сообщении #1072691 писал(а):

Извиняюсь за вторжение в дискуссию,но разве это не распространенное заблуждение, мне как то казалось и помнилось, что масса инвариант все таки.

Масса инвариант в том смысле, что во всех инерциальных системах отсчёта она вычисляется в одно и то же число, по формуле $m=\sqrt{E^2-p^2}.$

Но она не неизменна в том смысле, что если как-то изменить энергию покоя системы - не заставив её двигаться, а в собственной системе отсчёта - то тогда масса изменится. Вариантов такого изменения много: можно заставить систему двигаться одними частями относительно других (вращение - частный случай; вращение абсолютно в том смысле, что наличествует во всех инерциальных системах отсчёта), можно нагреть систему, можно создать в ней какие-нибудь механические напряжения, можно - какие-то поля, в простейшем случае электромагнитные. (С полями надо быть осторожней, чтобы они не уходили на бесконечность, в некотором смысле.)

Именно это происходит, например, в ядерных реакциях: масса составного ядра меньше суммарной массы составляющих его протонов и нейтронов, на так называемый дефект массы. Именно такая энергия в сумме и выделится, если синтезировать это ядро из таких же ровно протонов и нейтронов. Эта энергия - присутствует в ядре в виде (отрицательной) энергии поля ядерных сил, аналогично энергии электрического поля в каком-нибудь заряженном конденсаторе, и аналогично энергии ионизации в атоме, тоже электрической по природе. Поэтому (и только в системе отсчёта покоя!) энергию ядерной реакции такого типа можно рассчитать по формуле $E=\Delta m\,c^2.$ Сами понимаете, ничего общего с мифической $\color{red}\boxed{\color{black}E=mc^2}$ это не имеет.