2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 16:08 


25/11/08
449
Известно, что пчелиные соты шестиугольные, потому что это лучшая фигура для разбиения плоскости в том смысле, что суммарный периметр стенок минимальный при прочих равных. Думал, что доказательство несложное и всем известное. Но неглубокое гугление не дало никаких результатов. :? Доказан ли этот факт? Если да, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3979
МФТИ ФУПМ
Ну а посчитать периметры треугольника, квадрата и шестиугольника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 16:21 


25/11/08
449
Nemiroff в сообщении #1070757 писал(а):
Ну а посчитать периметры треугольника, квадрата и шестиугольника?
Почему рассматриваем только правильные фигуры? И как строго показать, что другие правильные n-угольники не подходят для замощения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 16:24 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Nemiroff в сообщении #1070757 писал(а):
посчитать периметры треугольника, квадрата и шестиугольника

И доказать, что это все правильные паркеты.
... ТС уже задал этот вопрос.
А почему мы ограничиваемся правильными многоугольниками? Вдруг пчёлы ошибаются, и существует паркет из криволинейных разнокалиберных фигур, замощающих плоскость экономнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3979
МФТИ ФУПМ
Если не только правильные, то нужно думать сильнее. Но вы же спросили про соты. Для "рукодельных" структур симметричность и выпуклость естественна, как мне кажется.

Почему только они --- ну подумайте, как правильные многоугольники должны сопрягаться на вершинах?

По поводу криволинейных фигур --- можете почитать статью http://arxiv.org/abs/math/9906042

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 16:38 


25/11/08
449
А как посчитать эффективность замощения для треугольника, квадрата и шестиугольника? Не очевидно, что отношение площади к периметру равно эффективности. Ведь фигур на плоскости много, у них есть смежные стороны. Может нужно выделить какие-то одинаковые самостыкующиеся области плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3979
МФТИ ФУПМ
ellipse в сообщении #1070765 писал(а):
А как посчитать эффективность замощения для треугольника, квадрата и шестиугольника?
Ну погодите. Вы же написали
ellipse в сообщении #1070755 писал(а):
потому что это лучшая фигура для разбиения плоскости в том смысле, что суммарный периметр стенок минимальный при прочих равных
что здесь "прочие равные"? И что есть "эффективность"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 17:05 


25/11/08
449
Nemiroff в сообщении #1070769 писал(а):
что здесь "прочие равные"? И что есть "эффективность"?
В том и проблема, что не очень понимаю, как строго определяется эффективность замощения или плотность упаковки. Подозреваю, что это в каком-то смысле предельное свойство.

Например:
Если один квадрат, то отношений общей площади к общей длине граней равно S/p = 1/4.
Если два квадрата, то S/p = 2/7, так как одна сторона общая.
Если три квадрата, то S/p = 3/10.
Если четыре квадрата, то S/p = 4/12 = 1/3.
и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 17:18 
Заслуженный участник


04/03/09
899
ellipse в сообщении #1070770 писал(а):
В том и проблема, что не очень понимаю, как строго определяется эффективность замощения или плотность упаковки. Подозреваю, что это в каком-то смысле предельное свойство.

Можно определить так: ищем минимум безразмерной величины $\frac{P\sqrt{S_0}}{S}$, где $S_0$ - площадь одной ячейки, $S$ - площадь некой большой области, в которой находится много ячеек, $P$ - суммарная длина всех отрезков, являющихся сторонами ячеек(ну или не отрезков, а кривых каких-то) и находящихся внутри этой области. Величина этой безразмерной штуки зависит только от того, какой формы ячейки и как они друг с другом стыкуются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 17:44 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
12d3 в сообщении #1070773 писал(а):
ищем минимум безразмерной величины $\frac{P\sqrt{S_0}}{S}$

Проще найти минимум $P/S$ при $S=1$, скажем. Да, это круг, но им плоскость не замостить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 17:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
ellipse в сообщении #1070770 писал(а):
не очень понимаю, как строго определяется эффективность замощения или плотность упаковки.

Вот и никто не понимает. Но, главное, -- этого и не нужно понимать. Скажем, если соединить четыре точки отрезками, сходящимися в одной точке, то точка их соединения немедленно расползётся в отрезок, из каждого конца которого выходят два других, причём под углом именно 120 градусов. И уж это-то очевидно. А тогда и соты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шестиугольник наиболее экономно замещает плоскость?
Сообщение06.11.2015, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9588
Кентакска волост
Самая плотная упаковка круглых цилиндров - гексагональная. Пчёлы может и не хотят шестиугольники или не задумываются - оно само получается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group