Функторы с возможностью "сокращения в формулах"

[kp9r4d]

Меня интересует следующий класс функторов, пусть $F : \mathbf{C} \to \mathbf{K}$ - функтор из одной категории в другую. И пусть $P(f_1,...,f_n)$ предикат в языке абстрактной категории первого порядка (алфавит, помимо стандартных символов, содержит двухместный функциональный символ $\cdot$ - "умножение стрелок", а аксиомы - стандартные аксиомы категории). И для функтора $F$ выполнено следующее: $P(f_1,...,f_n) \leftrightarrow P(F(f_1), F(f_2), ..., F(f_n))$. То есть $P$ истинный на наборе $(f_1,...,f_n)$ в $\mathbf{C}$ тогда и только тогда, когда $P$ истинен на наборе $(F(f_1),...,F(f_n))$ в $\mathbf{K}$.
Отсюда, например, следует: $f$ изоморфизм/мономорфизм/нормальный мнонморфизм/биморфизм/коретракция тогда и только тогда, когда $F(f)$ такого же типа.

Очень хочется понять, есть ли названия у таких функторов? И существует ли функтор с таким свойством, неэквивалентный единичному функтору (даже в случае $\mathbf{C} = \mathbf{K}$)? А также является ли функтор банаховой соряженности таким?