Дискретное множество Бореля, мера Лебега

[Dmitry Tkachenko]

Рассмотрим множество $\mathcal{A}$ чисел из $[0,1],$ у которых в десятичной записи на 9-ом и на 99-ом местах цифры разной четности.
(i) Является ли $\mathcal{A}$ борелевским множеством?
(ii) В случае положительного ответа в (i), найти $\lambda_1(\mathcal{A}),$ где $\lambda_1$ есть мера Лебега на $\mathbb{R}.$

[Anton_Peplov]

А что такое парность цифр?

[Dmitry Tkachenko]

Anton_Peplov в сообщении #1070317 писал(а):

А что такое парность цифр?

Ой, прошу прощения! Исправил! Там "четности"!

[g______d]

Если фиксировано конечное количество позиций, то все наборы цифр на этих позициях равновероятны, просто из инвариантности меры относительно сдвигов. Поэтому ответ понятно какой:

(Оффтоп)

$1/2$ (либо встречу, либо нет).

[kp9r4d]

Да и что борелевское понятно. Потому что при построении не используется аксиома выбора. Множество, у которого фиксирован префикс десятичной записи - а (бесконечный) суфикс может быть каким угодно - замкнуто, а множество из задачи это объединение конечного числа таких множеств.
Тут ещё немного тонкое место связанное с $0.(9) = 1$ (какую из этих записей считать истинной?), но таких проблемных чисел счётное число, поэтому всё равно борелевское.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1070376 писал(а):

замкнуто

На самом деле полуоткрыто; правда это, действительно, зависит от того, считаем ли мы, что у числа $1$ допустимый префикс $0.9$, или нет.

[Dmitry Tkachenko]

Рассмотрим множество $\mathcal{A}$ чисел из $[0,1],$ у которых в десятичной записи цифра 9 встречается хотя бы один раз.
(i) Является ли $\mathcal{A}$ борелевским множеством?
(ii) В случае положительного ответа в (i), найти $\lambda_1(\mathcal{A}),$ где $\lambda_1$ есть мера Лебега на $\mathbb{R}.$

[g______d]

Это дополнение к канторовскому множеству, про которое все известно. В частности, $\mathcal A$ открыто (в топологии $[0,1]$), плотно, и имеет полную меру. Доказывается все точно так же, как для стандартного канторовского множества.

[Dmitry Tkachenko]

g______d, я не очень понимаю, почему это дополнение к канторову множеству... Объясните, пожалуйста.

Правильно ли я понимаю, что если выбирать числа, у которых в 10-ичной записи есть хотя бы одна девятка $\big(a=\frac{1}{10}\big)$, то мы выберем весь отрезок: $a+a(1-a)+a(1-a)^2+\dots =\dfrac{a}{1-(1-a)}=1$ ?

[g______d]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1071878 писал(а):

я не очень понимаю, почему это дополнение к канторову множеству... Объясните, пожалуйста.

Ну как, сначала выкидываем числа, у которых девятка на первом месте. Это будет один интервал. Потом те, у которых девятка на втором месте; это 9 маленьких интервалов. И т. д. Это процедура, аналогичная построению классического канторова множества (в нем выкидывались числа, в троичной записи которых есть хотя бы одна двойка). Точно так же в остатке получается нигде не плотное замкнутое (и даже совершенное) множество.

Dmitry Tkachenko в сообщении #1071878 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что если выбирать числа, у которых в 10-ичной записи есть хотя бы одна девятка $\big(a=\frac{1}{10}\big)$, то мы выберем весь отрезок:

Мы выберем множество полной меры. Останется множество нулевой меры. Как и в случае классического канторова множества.

[Dmitry Tkachenko]

g______d, понял, спасибо.

[Dmitry Tkachenko]

Рассмотрим множество $\mathcal{A}$ чисел из $[0,1],$ у которых в десятичной записи цифра 7 встречается бесконечное количество раз.
(i) Является ли $\mathcal{A}$ борелевским множеством?
(ii) В случае положительного ответа в (i), найти $\lambda_1(\mathcal{A}),$ где $\lambda_1$ есть мера Лебега на $\mathbb{R}.$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.