2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 ТФКП
Сообщение04.11.2015, 20:56 


11/12/14
148
Здравствуйте, возникла проблема с такой задачей: Найти все аналитические функции $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ на комплексной плоскости $z = x+iy$, для которых ${u^2} + {v^2}$ есть функция, зависящая только от $x$.

Я записал первое данное условие таким образом: ${u^2} + {v^2} = g(x)$ и затем, используя УКР, пытался получить какое-либо уравнение на $g$, $u$ или $v$, но максимум, чего я достиг, это - $u_x^2 + u_y^2 = \frac{{{{({g^'}(x))}^2}}}{{4g}}$, что ничем не лучше начального условия на самом деле. Это получилось после того, как я продифференцировал один раз условие по $x$, затем по $y$, заменил две производные через УКР, возвел уравнения в квадрат и сложил. Пытался использовать разнообразные связи $u$ и $v$, и все равно ни к чему это не привело(дифференцировать несколько раз и прочее). Может, здесь нужно как-то совсем иначе действовать? Прошу помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение04.11.2015, 21:17 


29/08/13
282
У Вас 3 уравнения на 2 функции - вот и решайте переопределённую систему.
Система будет состоять из условий Коши-Римана и уравнения $uu_y + vv_y = 0$.
Решать можно повышая порядок уравнений дифференцированиями и приравнивая смешанные производные в духе $u_{xy} = u_{yx}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение04.11.2015, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Ваша задача описать аналитические функции $f(z) $т.ч. $|f|^2=g(x)$. Тогда $2\operatorname{Re} \ln f = \ln g(x)$.

Подсказка: Что можно сказать про функцию в левой части?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 00:53 


11/12/14
148
Red_Herring в сообщении #1070280 писал(а):
Ваша задача описать аналитические функции $f(z) $т.ч. $|f|^2=g(x)$. Тогда $2\operatorname{Re} \ln f = \ln g(x)$.

Подсказка: Что можно сказать про функцию в левой части?


В последнем выражении должен быть логарифм большой, наверное? тогда там будет стоять $ln|f|$, а она гармоническая. Я про то? Хотя это бессмыслица какая-то, логарифмирование вещественным было, так как обе части вещественные. :/

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
TripleLucker в сообщении #1070341 писал(а):
тогда там будет стоять $ln|f|$, а она гармоническая.

Хорошо. А что справа? И когда такая функция будет гармонической?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 09:03 


11/12/14
148
Red_Herring в сообщении #1070355 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1070341 писал(а):
тогда там будет стоять $ln|f|$, а она гармоническая.

Хорошо. А что справа? И когда такая функция будет гармонической?



А, когда $\frac{{{d^2}(\ln (g(x)))}}{{d{x^2}}} = 0$.

Решая это уравнение, получаем $g(x) = {C_2}{e^{{C_1}x}}$. Тогда получается, что нам подходят все функции, у которых квадрат модуля равен этой $g(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 09:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Ну а дальше? Я что, должен подгонять Вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 09:35 


11/12/14
148
Red_Herring в сообщении #1070411 писал(а):
Ну а дальше? Я что, должен подгонять Вас?


Теперь вид функции будет таким $f(z) = \sqrt {{C_2}{e^{{C_1}x}}} {e^{i\arg (f(z))}}$. Можно еще попробовать решить уравнение из топика, подставив туда $g(x)$, но это сложновато.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Ужас! Итак, $\ln g $ линейная ф-я, т.е. аналитическая ф-я $\Ln f$ имеет вещественную часть $ax+b$. Тогда $\Ln f$ чему равна? Это последняя подсказка

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 17:48 


11/12/14
148
Red_Herring в сообщении #1070426 писал(а):
Ужас! Итак, $\ln g $ линейная ф-я, т.е. аналитическая ф-я $\Ln f$ имеет вещественную часть $ax+b$. Тогда $\Ln f$ чему равна? Это последняя подсказка


Воспользуемся УКР: ${u_x} = {v_y} = a \to v = ay + c(x)$, $  - {u_y} = {v_x} = 0 \to c'(x) = 0 \to c(x) = c$, $v = ay + c$. Тогда $f(z) = ax + b + i(ay + c) = az + b + ic = az + {z_0}$.

И, я так понимаю, что для именно моей задачи будет $f(z) = {e^{az + {z_0}}}$. Тогда в модуле такой функции $y$ пропадает из тригонометрического тождества.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Следует указать какими д.б. две константы в $f(z)$

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 18:40 


11/12/14
148
Red_Herring в сообщении #1070522 писал(а):
Следует указать какими д.б. две константы в $f(z)$


$b = \ln \sqrt {{C_2}} ,a = \frac{{{C_1}}}{2}$, а $c$ - произвольная?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
TripleLucker в сообщении #1070526 писал(а):
$b = \ln \sqrt {{C_2}} ,a = \frac{{{C_1}}}{2}$, а $c$ - произвольная?


Вы написали: $f(z)= e^{az +z_0}$. Вот и укажите, какими д.б. эти две константы (вещественными, комплексными, по модулю равными 1, целыми, и т.д. и т.п.). Все остальные — это Ваше личное дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 20:00 


11/12/14
148
Red_Herring в сообщении #1070551 писал(а):
TripleLucker в сообщении #1070526 писал(а):
$b = \ln \sqrt {{C_2}} ,a = \frac{{{C_1}}}{2}$, а $c$ - произвольная?


Вы написали: $f(z)= e^{az +z_0}$. Вот и укажите, какими д.б. эти две константы (вещественными, комплексными, по модулю равными 1, целыми, и т.д. и т.п.). Все остальные — это Ваше личное дело.


А, тогда $a$ - вещественная, $z_0$ - комплексная.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП
Сообщение05.11.2015, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
OK

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group