2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 10:39 


04/11/15
13
Помогите с задачей.
Найти геометрическое место середин хорд, проведенных из конца малой полуоси эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Думаю, что там будет эллипс, меньший в 2 раза.
Изображение
Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.
\begin{cases}
y=kx+b\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{cases}

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
camprier в сообщении #1070101 писал(а):
Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.
$\begin{cases}
y=kx+b\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{cases}$

Как в первом уравнении системы учтено условие:
camprier в сообщении #1070101 писал(а):
геометрическое место середин хорд, проведенных из конца малой полуоси эллипса
:shock: ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 10:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
camprier в сообщении #1070101 писал(а):
Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.

Дальше -- выкинуть. Причём любую систему. Просто поместите начало координат в ту точку эллипса, из которой исходят хорды, и ответ станет тривиальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 11:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
интересно, что можно решить чисто по-школьному, если вначале взять окружность, а потом поджать её до эллипса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 11:30 
Заслуженный участник


16/02/13
3900
Владивосток
gris в сообщении #1070106 писал(а):
потом поджать
На кой? Результат простой вообще независимо от фигуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Ну это уж девятый класс, гомотетия. А так — седьмой :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 11:36 


04/11/15
13
Че-т я вообще не врубаюсь. Получилось уравнение: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y+b)^2}{b^2}=1$. И что с ним делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Ну если уж Вам хочется пойти напрямик по зарослям, то из первого уравнения Вашей первой системы выразите поочерёдно икс и игрек, подставьте во второе уравнение, решите квадратные уравнения (можно теорему Виета использовать), найдите середину хорды (как функцию от $k$) и исключите это $k$. Там ничего сложного быть не должно. В итоге координаты середины свяжутся эллипсовидным соотношением.
Кстати, не забудьте, что Ваша система описывает далеко не все точки ГМТ :-) .
И вообще Ваш ответ неправильный, если уж строго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7940
Москва
Крутое обобщение:
Если взять произвольную точку P, из неё провести отрезок в произвольную точку Q произвольной фигуры и поделить в произвольном отношении $m:n$, то геометрическое место точек деления для всех точек Q, выбранных на этой фигуре, будет фигурой, подобной данной.
Жаль, изобретатель пантографа успел раньше...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 13:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
gris в сообщении #1070121 писал(а):
И вообще Ваш ответ неправильный, если уж строго.

А чем точка не хорда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
ну да, вырожденный случай. Предельным как-то не хочется называть. Хотя я бы при сдаче зачёта оговорочку сделал на всякий случай :-) В школьной геометрии вырожденные случаи могут приводить к тому, что некоторые теоремы будут требовать ненужных уточнений. Ну, например, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит чеерез её центр. С другой стороны, появляется необходимость уточнений в других местах.
В общем, согласен. Про эту точку лишнее. Но уж неописываемую системой оставите?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group