2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 10:39 
Помогите с задачей.
Найти геометрическое место середин хорд, проведенных из конца малой полуоси эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Думаю, что там будет эллипс, меньший в 2 раза.
Изображение
Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.
\begin{cases}
y=kx+b\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{cases}

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 10:45 
Аватара пользователя
camprier в сообщении #1070101 писал(а):
Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.
$\begin{cases}
y=kx+b\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{cases}$

Как в первом уравнении системы учтено условие:
camprier в сообщении #1070101 писал(а):
геометрическое место середин хорд, проведенных из конца малой полуоси эллипса
:shock: ?

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 10:54 
camprier в сообщении #1070101 писал(а):
Составил систему уравнений и не знаю, что с ней дальше делать.

Дальше -- выкинуть. Причём любую систему. Просто поместите начало координат в ту точку эллипса, из которой исходят хорды, и ответ станет тривиальным.

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 11:03 
Аватара пользователя
интересно, что можно решить чисто по-школьному, если вначале взять окружность, а потом поджать её до эллипса.

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 11:30 
gris в сообщении #1070106 писал(а):
потом поджать
На кой? Результат простой вообще независимо от фигуры.

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 11:35 
Аватара пользователя
Ну это уж девятый класс, гомотетия. А так — седьмой :-)

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 11:36 
Че-т я вообще не врубаюсь. Получилось уравнение: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y+b)^2}{b^2}=1$. И что с ним делать?

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 12:22 
Аватара пользователя
Ну если уж Вам хочется пойти напрямик по зарослям, то из первого уравнения Вашей первой системы выразите поочерёдно икс и игрек, подставьте во второе уравнение, решите квадратные уравнения (можно теорему Виета использовать), найдите середину хорды (как функцию от $k$) и исключите это $k$. Там ничего сложного быть не должно. В итоге координаты середины свяжутся эллипсовидным соотношением.
Кстати, не забудьте, что Ваша система описывает далеко не все точки ГМТ :-) .
И вообще Ваш ответ неправильный, если уж строго.

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 13:02 
Аватара пользователя
Крутое обобщение:
Если взять произвольную точку P, из неё провести отрезок в произвольную точку Q произвольной фигуры и поделить в произвольном отношении $m:n$, то геометрическое место точек деления для всех точек Q, выбранных на этой фигуре, будет фигурой, подобной данной.
Жаль, изобретатель пантографа успел раньше...

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 13:44 
gris в сообщении #1070121 писал(а):
И вообще Ваш ответ неправильный, если уж строго.

А чем точка не хорда?

 
 
 
 Re: Геометрическое место середин хорд.
Сообщение04.11.2015, 14:03 
Аватара пользователя
ну да, вырожденный случай. Предельным как-то не хочется называть. Хотя я бы при сдаче зачёта оговорочку сделал на всякий случай :-) В школьной геометрии вырожденные случаи могут приводить к тому, что некоторые теоремы будут требовать ненужных уточнений. Ну, например, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит чеерез её центр. С другой стороны, появляется необходимость уточнений в других местах.
В общем, согласен. Про эту точку лишнее. Но уж неописываемую системой оставите?

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group