Вычисления в физических задачах

[Munin]

Pphantom:

Выделено из «Помогите распутать пару простых задач по механике»

Atom001 в сообщении #1069554 писал(а):

Блин! Да как так то? Я раз пять пересчитывал и получал всегда выше приведённый результат. А сейчас посчитал ещё раз и пришёл к верному результату.
Спасибо!

А как вы считаете? Просто тыкаете кнопочки на калькуляторе?
Считать надо:
- на бумажке;
- на калькуляторе;
- по-разному группируя сомножители или слагаемые;
- рекомендуется отдельно посчитать мантиссу и порядок, тем более что их часто можно отдельно оценить в уме, и сравнить правдоподобие результата расчёта;

(к тому же размерность и так обычно считают отдельно...)

- в случае малых поправок можно посчитать огрублённую формулу и оценить грубый ответ, к которому должен быть близок точный.
В общем, "пять раз пересчитывать" одним способом - никуда не годится. Пять раз пересчитывать разными способами - быстро приведёт вас к правильному ответу. (Обычно требуется 4 раза: два первых одним способом, просто на случай если где-то опечатался на калькуляторе; третий раз любым другим способом - получается правдоподобный ответ; четвёртый - для проверки, что в третьем способе не было ошибки.)

[Atom001]

Munin в сообщении #1069564 писал(а):

А как вы считаете? Просто тыкаете кнопочки на калькуляторе?

Увы, да.

Munin в сообщении #1069564 писал(а):

Пять раз пересчитывать разными способами - быстро приведёт вас к правильному ответу.

Ясно!

[Munin]

Atom001 в сообщении #1069579 писал(а):

Увы, да.

Научитесь хотя бы без калькулятора обходиться. Это сильно увеличит ваши возможности!

Калькулятор нужен только чтобы синусы считать, и то не всегда (не для малых углов и не табличные). Ну и при объёмных расчётах, до которых вы ещё не доросли...

[Atom001]

Munin в сообщении #1069608 писал(а):

Научитесь хотя бы без калькулятора обходиться.

Задача сложная! Сейчас калькулятор уже не роскошь, а жизненно важная необходимость. Хотя, конечно, Вы правы. Отучить себя от калькулятора очень даже стоит. Буду пробовать пытаться.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1069608 писал(а):

Калькулятор нужен только чтобы синусы считать, и то не всегда (не для малых углов и не табличные). Ну и при объёмных расчётах, до которых вы ещё не доросли...

Я бы усилил это утверждение и сказал, что калькулятор не нужен никогда. Либо требуются прикидочно-оценочные вычисления, тогда без калькулятора можно легко обойтись, либо требуется считать что-то серьезное, тогда калькулятора просто не хватит.

Ну а конкретно эту задачу в уме считать надо. В частности, для того, чтобы не получать ответ в виде $11.3 \cdot 10^\text{что-то там}$ в задаче, часть данных в которой дана в лучшем случае с 10% относительной погрешностью.

[destructor]

Atom001 в сообщении #1069627 писал(а):

Сейчас калькулятор уже не роскошь, а жизненно важная необходимость.

Попробуйте , к примеру, электронную таблицу использовать. Удобнее чем калькулятор - я так думаю .

[Munin]

Atom001 в сообщении #1069627 писал(а):

Задача сложная! Сейчас калькулятор уже не роскошь, а жизненно важная необходимость.

Для разленившегося поколения. Нечего! Научитесь, это не трудно. А то скоро уже читать и писать люди разучатся.

Кстати, схожая проблема в Китае и Японии: там молодёжь не учит правильного написания иероглифов, ведь компьютеры и так всё конвертируют...

Pphantom в сообщении #1069630 писал(а):

В частности, для того, чтобы не получать ответ в виде $11.3 \cdot 10^\text{что-то там}$ в задаче, часть данных в которой дана в лучшем случае с 10% относительной погрешностью.

Кстати, да!

Atom001
Когда у вас какие-то данные с $n$ цифрами (подразумеваются значащие цифры, и если мантисса начинается с 1 - единицу не считают, то есть, в 11,3 две значащие цифры), то промежуточные расчёты надо проводить с $n+1$ цифрой (кроме пары редких случаев, когда надо удерживать больше: разности, корни из степеней, числа вблизи единицы, углы вблизи $90^\circ$), а ответ округлить до $n$ цифр, по минимуму из всех входных данных.

-- 02.11.2015 20:25:54 --

destructor в сообщении #1069640 писал(а):

Попробуйте , к примеру, электронную таблицу использовать. Удобнее чем калькулятор - я так думаю .

Это, конечно, только хуже.

[Viktor92]

Munin в сообщении #1069643 писал(а):

(подразумеваются значащие цифры, и если мантисса начинается с 1 - единицу не считают, то есть, в 11,3 две значащие цифры)

Впервые о таком правиле слышу, правильно ли я вас понял, что если имею мантиссу $10,03$, то здесь 3 значащие цифры, а не четыре?
А вообще тему приближённых вычислений я только недавно для себя открыл, за 11 лет школы, даже никто ни на математике/физике не упоминал об этих правилах... Сейчас стараюсь считать с достаточной степенью точности исходя из исходных данных, хотелось бы уточнить ещё такой вопрос: как правильно поступать при округлении, когда последняя цифра 5, например $2,875 \approx 2,88$ или $2,875 \approx2,87$, а то в разных источниках по разному пишут...

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1069686 писал(а):

Впервые о таком правиле слышу, правильно ли я вас понял, что если имею мантиссу $10,03$, то здесь 3 значащие цифры, а не четыре?

Да. Ну это грубые правила, конечно. Серьёзно, тут надо понимать эту запись как $10{,}03\pm 0{,}005,$ и считать относительную погрешность $\delta v=\tfrac{\Delta v}{v}\approx 5\cdot 10^{-4}.$ Как видите, это ближе к $10^{-3},$ чем к $10^{-4}$ (особенно это видно на логарифмической шкале: $\lg=-0{,}3$).

Viktor92 в сообщении #1069686 писал(а):

А вообще тему приближённых вычислений я только недавно для себя открыл, за 11 лет школы, даже никто ни на математике/физике не упоминал об этих правилах...

Да, увы. Повезло в этом смысле только тем, кто учился в физматклассах, в физматшколах и т. п.

Viktor92 в сообщении #1069686 писал(а):

Сейчас стараюсь считать с достаточной степенью точности исходя из исходных данных, хотелось бы уточнить ещё такой вопрос: как правильно поступать при округлении, когда последняя цифра 5, например $2,875 \approx 2,88$ или $2,875 \approx2,87$, а то в разных источниках по разному пишут...

Я привык округлять 5 вверх. Потому что если там 5, то может быть, что на самом деле 52... или ещё что-то в таком духе. И вообще, тогда половина цифр округляется до нуля, и половина до единицы, это хорошо.

Тут не надо делать вот какой ошибки: сначала округлить до пяти знаков, потом то что получилось - до четырёх, потом - до трёх... Потому что при этом могут произойти вещи примерно как 0,445 -> 0,45 -> 0,5 -> 1.

[Viktor92]

Munin в сообщении #1069731 писал(а):

Тут не надо делать вот какой ошибки: сначала округлить до пяти знаков, потом то что получилось - до четырёх, потом - до трёх... Потому что при этом могут произойти вещи примерно как 0,445 -> 0,45 -> 0,5 -> 1.

А при оценке порядка величины так поступать можно? Например есть выражение и мы сразу максимально округляем все мантиссы

$$\frac {0.445 \cdot 10^5 \cdot 28.2\cdot 10^{-3}} {5.6\cdot10^{-5}} \approx \frac {10^2\cdot 30}{6\cdot10^{-5}} \approx 5 \cdot10^7 \approx 10^8 $$

А если оценивать порядок считая отдельно мантиссы, а лишь затем округляя выражение выше даёт $\approx 2.2 \cdot 10^7 \approx 10^7$, какой способ верный для оценки порядка?
И вообще имею некоторую неоднозначность в понимании порядка величины, как то нигде не акцентируют внимание на эти простые понятия, например числа $10,100$ в моём понимании одного порядка, по этой же логике $100,1000$ также одного порядка, но это не транзитивно, т.е. $10,1000$ разумеется не одного порядка.

[arseniiv]

В первом вычислении вы немного неправильно сделали: $0{,}445\approx4\cdot10^{-1}$, тогда ответы сойдутся. (Хотя можно, конечно, найти ситуацию, в которой всё равно разошлись бы.)

Viktor92 в сообщении #1069838 писал(а):

но это не транзитивно

Ну, это неудивительно. Отношение «примерно равно» тоже не транзитивно.

[Munin]

arseniiv правильно указывает. Когда вы округляли $0{,}445\to 1,$ вы, по сути, потеряли все значащие цифры, ни одной не оставили! А пытаетесь получить итоговую оценку с одной значащей цифрой. Вот тут у вас и произошла потеря точности.

На уровне "ни одной значащей цифры", числа $5\cdot 10^7$ и $2{,}2\cdot 10^7$ между собой не отличаются.

Viktor92 в сообщении #1069838 писал(а):

И вообще имею некоторую неоднозначность в понимании порядка величины, как то нигде не акцентируют внимание на эти простые понятия, например числа $10,100$ в моём понимании одного порядка, по этой же логике $100,1000$ также одного порядка, но это не транзитивно, т.е. $10,1000$ разумеется не одного порядка.

$10$ и $100$ отличаются на порядок (десятичный). Соответственно, $100$ и $1000$ - тоже на порядок, и получается $10$ и $1000$ - в сумме на два порядка. Всё правильно и логично.

Можете формализовать понятие "порядка" как "десятичный логарифм". Тогда все эти примерные рассуждения вы легко спроецируете на точные. Все рассуждения "с точностью до порядка" - это когда логарифмы округляются до целых.

Встречалось мне где-то в физике и более грубое округление (кажется, до трёх десятичных порядков), но это вещь весьма редкая: такие штуки уже почти никому не нужны.

[Viktor92]

Чтож, уж если появилась такая тема , прошу форумчан проверить, правильно ли я использую правила приближённого вычисления:
1. При сложении приближённых чисел, в результате сохраняю столько знаков после запятой, сколько имеет число с их наименьшим количеством.
2. При умножении, делении, возведения в степень, взятия корня, логарифма сохраняю столько значащих цифр, сколько имеет число с наименьшим их количеством.
3. При вычисление тригонометрических функций, при угле выраженном с точность до градусов - оставляю 2 десятичных знака.
4. Если при арифметических операциях числа сильно различаются порядком, то группирую так, чтобы избегать разности, между числами одного (более малого) порядка.
5. В промежуточных вычислениях сохраняю одну запасную цифру.

[amon]

А.Н. Крылов, Лекции о приближенных вычислениях. Глава 1.

[Viktor92]

amon благодарю,хорошая книга. Остальные главы мне тоже пригодятся