2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 00:57 


10/09/13
190
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться.

1) Лучше этот определитель в лоб по первой строке через алгебраические дополнения раскрутить или вычитанием строк имеет смысл заниматься? Попробовал вычитать, строчки, но толкового ничего не вышло.

$\begin{vmatrix}
 a&x  &x&x \\
 y&a  &x&x \\
 y&y  &a&x\\
 y  &y&y&a\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 a-y&x-a  &0&0 \\
 y&a  &x&x \\
 y&y  &a&x\\
 y  &y&y&a\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 a-y&x-a  &0&0 \\
 0&a-y  &x-a&0 \\
 y&y  &a&x\\
 y  &y&y&a\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 a-y&x-a  &0&0 \\
 0&a-y  &x-a&0 \\
 0&0  &a-y&x-a\\
 y  &y&y&a\\ 
\end{vmatrix}=$


$=\begin{vmatrix}
 a-y&x+y-2a  &0&0 \\
 0&a-y  &x-a&0 \\
 0&0  &a-y&x-a\\
 y  &0&y&a\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 a-y&x+y-2a  &y-a&0 \\
 0&a-y  &x-a&0 \\
 0&0  &a-y&x-a\\
 y  &0&0&a\\ 
\end{vmatrix}$

От $a_{41}$ не получается избавиться.

2) Лучше этот определитель в лоб по первой строке через алгебраические дополнения раскрутить или вычитанием строк имеет смысл заниматься.

$$\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&bca \\
 1&b  &b^2&acd \\
 1&c  &c^2&abd\\
 1  &d&d^2&abc\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 1&0  &a^2&bca \\
 1&b-a  &b^2&acd \\
 1&c-a  &c^2&abd\\
 1  &d-a&d^2&abc\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 1&0  &a^2&0 \\
 1&b-a  &b^2&acd-bca \\
 1&c-a  &c^2&abd-bca\\
 1  &d-a&d^2&abc-bca\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 1&0  &0&0 \\
 1&b-a  &b^2-a^2&acd-bca \\
 1&c-a  &c^2-a^2&abd-bca\\
 1  &d-a&d^2-a^2&abc-bca\\ 
\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}1&0  &0&0 \\
 0&b-a  &b^2-a^2&acd-bca \\
 0&c-a  &c^2-a^2&abd-bca\\
 0  &d-a&d^2-a^2&abc-bca\\ 
\end{vmatrix}$$

Других идей пока что нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 02:05 
Заслуженный участник


31/12/05
1186
Во втором определителе в $a_{14}$ случайно не опечатка? Может, $bcd$?

А первый после всех преобразований довольно просто раскладывается по последней строке или столбцу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 02:06 


10/09/13
190
tolstopuz в сообщении #1069727 писал(а):
Во втором определителе в $a_{14}$ случайно не опечатка? Может, $bcd$?

А первый после всех преобразований довольно просто раскладывается по последней строке или столбцу.


Да, опечатка, спасибо. А как со вторым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 02:28 
Заслуженный участник


31/12/05
1186
Tosha в сообщении #1069729 писал(а):
А как со вторым?
Вторая строка делится на $b-a$, можно вынести. И так далее.

-- Вт ноя 03, 2015 02:36:43 --

В первом мне как-то удалось получить лишний ноль, не нарушив красоты:

- вычитаем последнюю строку из остальных;
- вычитаем первый столбец из остальных;
- вычитаем второй столбец из третьего и четвертого;
- вычитаем третий столбец из четвертого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 10:58 


10/09/13
190
tolstopuz в сообщении #1069733 писал(а):
Tosha в сообщении #1069729 писал(а):
А как со вторым?
Вторая строка делится на $b-a$, можно вынести. И так далее.

Спасибо, но не делится!

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5000
Нов-ск
Tosha в сообщении #1069719 писал(а):
$$\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&bcd \\
 1&b  &b^2&acd \\
 1&c  &c^2&abd\\
 1  &d&d^2&abc\\ 
\end{vmatrix}= -
\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&a^3 \\
 1&b  &b^2&b^3 \\
 1&c  &c^2&c^3\\
 1  &d&d^2&d^3\\ 
\end{vmatrix}$$

Дальше очевидно (определитель Вандермонда)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 11:53 
Заслуженный участник


31/12/05
1186
Tosha в сообщении #1069776 писал(а):
Спасибо, но не делится!
Я про вид после преобразований - там делится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 12:51 


10/09/13
190
TOTAL в сообщении #1069782 писал(а):
Tosha в сообщении #1069719 писал(а):
$$\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&bcd \\
 1&b  &b^2&acd \\
 1&c  &c^2&abd\\
 1  &d&d^2&abc\\ 
\end{vmatrix}= -
\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&a^3 \\
 1&b  &b^2&b^3 \\
 1&c  &c^2&c^3\\
 1  &d&d^2&d^3\\ 
\end{vmatrix}$$

Дальше очевидно (определитель Вандермонда)


А каким образом получилось такое преобразование?

-- 03.11.2015, 12:58 --

Исправляю опечатку:

Если какие-то из чисел множества $\{a,b,c,d\}$ совпадают, то определитель равен нулю, далее считаем, что нет совпадающих в рассуждениях.

$$=\begin{vmatrix}1&0  &0&0 \\
 0&b-a  &b^2-a^2&acd-bcd \\
 0&c-a  &c^2-a^2&abd-bcd\\
 0  &d-a&d^2-a^2&abc-bcd\\ 
\end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}1&0  &0&0 \\
 0&1  &a+b&cd \\
 0&1  &a+c&bd\\
 0  &1&a+d&bc\\ 
\end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 1  &a+c&bd\\
 1&a+d&bc\\ 
\end{vmatrix}=$$


$$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 1  &a+c&bd\\
 1&a+d&bc\\ 
\end{vmatrix}=$$

$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 0  &c-b&bd-cd\\
 0&d-b&bc-cd\\ 
\end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 0  &-1&d\\
 0&-1&c\\ 
\end{vmatrix}$

$$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 0  &-1&d\\
 0&0&c-d\\ 
\end{vmatrix}=\dfrac{d-c}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5000
Нов-ск
Tosha в сообщении #1069808 писал(а):
А каким образом получилось такое преобразование?

Какую-то строку умножить на $a$, какой-то столбец поделить на $a$. Ещё на $b,c,d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 13:10 


10/09/13
190
А правильный ли ответ?

$\dfrac{d-c}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}$

Точнее такой: Я там ошибся, нужно не в знаменатель было ставить, а в числитель.

$(d-c)(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)$

-- 03.11.2015, 13:20 --

Понял про вандермонда)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group