2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 00:57 
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться.

1) Лучше этот определитель в лоб по первой строке через алгебраические дополнения раскрутить или вычитанием строк имеет смысл заниматься? Попробовал вычитать, строчки, но толкового ничего не вышло.

$\begin{vmatrix}
 a&x  &x&x \\
 y&a  &x&x \\
 y&y  &a&x\\
 y  &y&y&a\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 a-y&x-a  &0&0 \\
 y&a  &x&x \\
 y&y  &a&x\\
 y  &y&y&a\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 a-y&x-a  &0&0 \\
 0&a-y  &x-a&0 \\
 y&y  &a&x\\
 y  &y&y&a\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 a-y&x-a  &0&0 \\
 0&a-y  &x-a&0 \\
 0&0  &a-y&x-a\\
 y  &y&y&a\\ 
\end{vmatrix}=$


$=\begin{vmatrix}
 a-y&x+y-2a  &0&0 \\
 0&a-y  &x-a&0 \\
 0&0  &a-y&x-a\\
 y  &0&y&a\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 a-y&x+y-2a  &y-a&0 \\
 0&a-y  &x-a&0 \\
 0&0  &a-y&x-a\\
 y  &0&0&a\\ 
\end{vmatrix}$

От $a_{41}$ не получается избавиться.

2) Лучше этот определитель в лоб по первой строке через алгебраические дополнения раскрутить или вычитанием строк имеет смысл заниматься.

$$\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&bca \\
 1&b  &b^2&acd \\
 1&c  &c^2&abd\\
 1  &d&d^2&abc\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 1&0  &a^2&bca \\
 1&b-a  &b^2&acd \\
 1&c-a  &c^2&abd\\
 1  &d-a&d^2&abc\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 1&0  &a^2&0 \\
 1&b-a  &b^2&acd-bca \\
 1&c-a  &c^2&abd-bca\\
 1  &d-a&d^2&abc-bca\\ 
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
 1&0  &0&0 \\
 1&b-a  &b^2-a^2&acd-bca \\
 1&c-a  &c^2-a^2&abd-bca\\
 1  &d-a&d^2-a^2&abc-bca\\ 
\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}1&0  &0&0 \\
 0&b-a  &b^2-a^2&acd-bca \\
 0&c-a  &c^2-a^2&abd-bca\\
 0  &d-a&d^2-a^2&abc-bca\\ 
\end{vmatrix}$$

Других идей пока что нет

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 02:05 
Во втором определителе в $a_{14}$ случайно не опечатка? Может, $bcd$?

А первый после всех преобразований довольно просто раскладывается по последней строке или столбцу.

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 02:06 
tolstopuz в сообщении #1069727 писал(а):
Во втором определителе в $a_{14}$ случайно не опечатка? Может, $bcd$?

А первый после всех преобразований довольно просто раскладывается по последней строке или столбцу.


Да, опечатка, спасибо. А как со вторым?

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 02:28 
Tosha в сообщении #1069729 писал(а):
А как со вторым?
Вторая строка делится на $b-a$, можно вынести. И так далее.

-- Вт ноя 03, 2015 02:36:43 --

В первом мне как-то удалось получить лишний ноль, не нарушив красоты:

- вычитаем последнюю строку из остальных;
- вычитаем первый столбец из остальных;
- вычитаем второй столбец из третьего и четвертого;
- вычитаем третий столбец из четвертого.

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 10:58 
tolstopuz в сообщении #1069733 писал(а):
Tosha в сообщении #1069729 писал(а):
А как со вторым?
Вторая строка делится на $b-a$, можно вынести. И так далее.

Спасибо, но не делится!

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 11:34 
Аватара пользователя
Tosha в сообщении #1069719 писал(а):
$$\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&bcd \\
 1&b  &b^2&acd \\
 1&c  &c^2&abd\\
 1  &d&d^2&abc\\ 
\end{vmatrix}= -
\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&a^3 \\
 1&b  &b^2&b^3 \\
 1&c  &c^2&c^3\\
 1  &d&d^2&d^3\\ 
\end{vmatrix}$$

Дальше очевидно (определитель Вандермонда)

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 11:53 
Tosha в сообщении #1069776 писал(а):
Спасибо, но не делится!
Я про вид после преобразований - там делится.

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 12:51 
TOTAL в сообщении #1069782 писал(а):
Tosha в сообщении #1069719 писал(а):
$$\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&bcd \\
 1&b  &b^2&acd \\
 1&c  &c^2&abd\\
 1  &d&d^2&abc\\ 
\end{vmatrix}= -
\begin{vmatrix}
 1&a  &a^2&a^3 \\
 1&b  &b^2&b^3 \\
 1&c  &c^2&c^3\\
 1  &d&d^2&d^3\\ 
\end{vmatrix}$$

Дальше очевидно (определитель Вандермонда)


А каким образом получилось такое преобразование?

-- 03.11.2015, 12:58 --

Исправляю опечатку:

Если какие-то из чисел множества $\{a,b,c,d\}$ совпадают, то определитель равен нулю, далее считаем, что нет совпадающих в рассуждениях.

$$=\begin{vmatrix}1&0  &0&0 \\
 0&b-a  &b^2-a^2&acd-bcd \\
 0&c-a  &c^2-a^2&abd-bcd\\
 0  &d-a&d^2-a^2&abc-bcd\\ 
\end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}1&0  &0&0 \\
 0&1  &a+b&cd \\
 0&1  &a+c&bd\\
 0  &1&a+d&bc\\ 
\end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 1  &a+c&bd\\
 1&a+d&bc\\ 
\end{vmatrix}=$$


$$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 1  &a+c&bd\\
 1&a+d&bc\\ 
\end{vmatrix}=$$

$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 0  &c-b&bd-cd\\
 0&d-b&bc-cd\\ 
\end{vmatrix}=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 0  &-1&d\\
 0&-1&c\\ 
\end{vmatrix}$

$$=\dfrac{1}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}\begin{vmatrix}
 1  &a+b&cd \\
 0  &-1&d\\
 0&0&c-d\\ 
\end{vmatrix}=\dfrac{d-c}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}$$

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 12:59 
Аватара пользователя
Tosha в сообщении #1069808 писал(а):
А каким образом получилось такое преобразование?

Какую-то строку умножить на $a$, какой-то столбец поделить на $a$. Ещё на $b,c,d$.

 
 
 
 Re: Определители.. Как оптимально вычислить?
Сообщение03.11.2015, 13:10 
А правильный ли ответ?

$\dfrac{d-c}{(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)}$

Точнее такой: Я там ошибся, нужно не в знаменатель было ставить, а в числитель.

$(d-c)(b-a)(c-a)(d-a)(b-c)(b-d)$

-- 03.11.2015, 13:20 --

Понял про вандермонда)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group