Разложение в цепную дробь

[sdr]

Требуется разложить дробь:
$\frac {a_4S^4+a_3S^3+a_2S^2+a_1S+a_0}{b_3S^3+b_2S^2+b_1S+b_0}$
в цепную, т.к. при ее перевороте:
$\frac {b_3S^3+b_2S^2+b_1S+b_0}{a_4S^4+a_3S^3+a_2S^2+a_1S+a_0}$
степень в числителе становится больше чем степень в знаменателе, то разложение невозможно. Однако в одной книжке нашел следующую формулу
$\frac{Q^m}{R^n}$=$\frac{1}{\frac{R^n}{Q^m}}$=

$$\frac{1}{\frac{Q_1^0}{R_1^1}+\frac{Q_1^m-2}{R_3^m-1}}$$

Далее был пример:
$M=\frac{Q^4}{R^3}$=$\frac{a_4S^4+a_3S^3+a_2S^2+a_1S+a_0}{b_3S^3+b_2S^2+b_1S+b_0}$=$\frac{1}{\frac {b_3S^3+b_2S^2+b_1S+b_0}{a_4S^4+a_3S^3+a_2S^2+a_1S+a_0}}$=$\frac{1}{\frac{C_1S+C_0}{d_2S^2+d_1S+d_0}+\frac{b_1'S+b_0'}{a_2'S^2+a_1'S+a_0'}}$
Не могу разобраться, как это:
$\frac{1}{\frac {b_3S^3+b_2S^2+b_1S+b_0}{a_4S^4+a_3S^3+a_2S^2+a_1S+a_0}}=\frac{1}{\frac{C_1S+C_0}{d_2S^2+d_1S+d_0}+\frac{b_1'S+b_0'}{a_2'S^2+a_1'S+a_0'}}$ получилось, что такое C_0,C_1,d_2,d_1,d_0,b_1',b_0',a_2',a_1',a_0'
Подскажите, кто что знает.

[bot]

Пусть даны полиномы $f$ и $g$. Обозначим для единообразия $r_0=f$ и $r_1=g$.
Алгоритм Евклида знаете? Вот по нему и действуйте:

$r_0=r_1q_1+r_2$
$r_1=r_2q_2+r_3$
...

Так как степени полиномов $r_i$, начиная с $i=1$ строго убывают, то на некотором шаге получим $r_{n+1}=0$, то есть $r_{n-1}=r_nq_n$

Из полученных равенств и получаем разложение в цепную дробь:
$\frac{f}{g}=\frac{r_0}{r_1}=q_1+\frac{1}{\frac{r_1}{r_2}}= ... =q_1+\frac{1}{q_2+\frac{1}{q_3 + ...}}$

P.S. Если степень f меньше степени g, то первое деление тривиально: $q_1=0, \ r_2 = r_0$

[sdr]

В том то и дело, что степень f больше степени g.

[Brukvalub]

Без значений коэффициентов понять Вашу запись сложно, но, думаю, произошло обычное разложение правильной дроби в сумму двух простейших дробей.

[sdr]

вот и мне тоже сложно понять, но автор же как то сделал? а как? Говорит,что по этой формуле
$\frac{Q^m}{R^n}$=$\frac{1}{\frac{R^n}{Q^m}}$=

$$\frac{1}{\frac{Q_1^0}{R_1^1}+\frac{Q_1^m-2}{R_3^m-1}}$$

p.s. m-2 и m-1 это степень

[Brukvalub]

Думаю, что смысл этой формулы должен разъясняться где-то выше в тексте, который Вы читаете.

[sdr]

Там еще есть такая фигня:
Известны разложения дробно-рациональной функции

\[W = \frac{{Q^m }}{{R^n }}\]

на сумму и произведение элементарных дробей:

$ \frac{{Q^m }}{{R^n }} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{Q_i^0 }}{{R_i^' }}$,m \le n;}
$ \frac{{Q^m }}{{R^n }} = \left( {\prod\limits_{i = 1}^m {\frac{{Q_i^' }}{{R_i^' }}} } \right) \cdot \left( {\prod\limits_{j = m + 1}^m {\frac{{Q_j^0 }}{{R_j^' }}} } \right)$;m \le n

\[ \frac{{Q^m }}{{R^n }} = \left( {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{Q_i^' }}{{R_i^' }}} } \right)\cdot \left( {\prod\limits_{j = n + 1}^m {Q_j^' } } \right);m \ge n \]

по моему к этому разложению имеет отношение формула 1. Но как именно она работает непонятно.

[Brukvalub]

А Вы знаете теорему о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей?

[bot]

Кажется ясным, что к цепным дробям вопрос не имеет никакого касательства - скорее это действительно использование в каких-то целях разложения рациональной дроби (или обратной к ней) в сумму простейших.

sdr писал(а):

Там еще есть такая фигня:

Пробовал напрячь свои телепатические способности - ничего не вышло. Предположения, правдоподобные для одной из строчек, опровергаются на других ...
Если первую можно интерпретировать как разложение для случая простых корне знаменателя, то в двух последних произведение, но это ..., хм тогда что-то совсем тривиальное.

Может быть проще сказать, где это там? Если уж не линк, то хотя бы автора, название главы и параграфа.

[sdr]

Да знаю я эту теорему. Тока вот не то это все. Как найти корни такого 0.3a^4+0.2a^3+0.4a^2+0.1a+0.01знаменателя? А у него вообще в буквах. Да и непохоже это $\frac{{R^n }}{{Q^m }} =\frac{Q_1^0}{R_1^1}+\frac{Q_1^m-2}{R_3^m-1}$ на разложение методом неопределенных коэффициентов.

[bot]

Если повезёт, то корни можно угадать, а если нет, то для 4-й степени теоретических проблем нет - разложение по крайнер мере на два квадратных трёхчлена существует. Если у них нет общих корней, то правильная дробь с таким знаменателем разложится в сумму двух дробей, числители которых будут линейными функциями, а знаменателями квадратные трёхлены.

[sdr]

вот, это мне и нужно, как разложит не подскажите. Возможно автор это и имеет в виду.

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

Вот эту дробь разложить нужно.
$\frac{0,4a^3+0,5a^2+0,2a+0,1}{0,3a^4+0,2a^3+0,4a^2+0,1a+0,01}=\frac{40a^3+50a^2+20a+10}{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1} $
На две дроби, где знаменатели буду состоять из квадратных трехчленов.

[Brukvalub]

sdr писал(а):

Вот эту дробь разложить нужно.
$\frac{0,4a^3+0,5a^2+0,2a+0,1}{0,3a^4+0,2a^3+0,4a^2+0,1a+0,01}=\frac{40a^3+50a^2+20a+10}{30a^4+20a^3+40a^2+10a+1} $
На две дроби, где знаменатели буду состоять из квадратных трехчленов.

Судя по предыдущим Вашим записям - да. А разложит Вам его в сумму простейших любой продвинутый пакет символьных математических вычислений.