Какие бывают электромагнитные поля?

[Magnus Magnificus]

Во многих учебниках по электродинамике можно найти формулы напряженностей электрического и магнитного поля для каждого конкретного случая их источников (конденсатор, сфера, заряженная плоскость, прямой провод, тороидальная катушка, соленоид и т.д.). А существуют ли учебники или справочники, которые позволяли бы быстро решать обратную задачу - вычислять источники и проектировать генераторы для произвольного электромагнитного поля в произвольной системе координат, напряженности которого были бы некоторыми функциями от этих координат, - и насколько произвольными могут быть эти функциональные зависимости?

[Munin]

Существуют такие учебники. Называются они "Уравнения математической физики".

В общем, уравнения электродинамики обычно имеют такой вид:

$$\Bigl(\text{оператор}\Bigr)\biggl[\Bigl(\text{поле}\Bigr)\biggr]=\Bigl(\text{источники}\Bigr).$$

Таким образом, вычислить источники в общем случае довольно просто, для заданного поля: достаточно применить оператор дифференциального исчисления. Но конечно, в результате быстро получится, что не все поля могут давать удовлетворительный ответ, например, вам хочется поле какой-то конфигурации в пустом пространстве, а выяснится, что это пространство должно быть заполнено проводами, магнитами и т. п. Какие именно поля возможны в таком случае - это первый вопрос, на который отвечают учебники УМФ.

Гораздо сложнее обратная задача: для некоторых заданных источников рассчитать те поля, которые удовлетворяют соответствующему уравнению. Эта задача - задача решения дифференциального уравнения. В хороших случаях она может быть сведена к вычислению каких-то интегралов (что само по себе тоже трудоёмко, и может не давать аналитической формулы), но бывают ситуации, когда и это недостижимо. Как решать такие дифференциальные уравнения - это второй вопрос, на который отвечают учебники УМФ.

А то, что вы говорите, - это слабые отголоски всей этой серьёзной математической машины. Несколько простых и хорошо известных частных случаев.

[AnatolyBa]

Если говорить о технические приложениях, то вероятно вам нужно создать поле в областях без источников. Есть несколько приложений, где это применяется. Например антенны; это специальный и узкий раздел, в котором я не разбираюсь, но наверняка существуют методы создания антенн с определенной диаграммой направленности.
Другая область - создание заданных конфигураций полей в электрических устройствах, например поле в квадрупольной магнитной линзе или поле в электрической машине.
Существует довольно общий метод для двухмерных задач - основан на ТФК. Насколько мне известно, не существует общепринятого метода для трехмернух задач; применяются численные подходы. Влубом случае это довольно специальная область

[мат-ламер]

Magnus Magnificus в сообщении #1068963 писал(а):

А существуют ли учебники или справочники, которые позволяли бы быстро решать обратную задачу - вычислять источники ... напряженности которого были бы некоторыми функциями от этих координат, - и насколько произвольными могут быть эти функциональные зависимости?

Кое-что начальное есть и в обычных учебниках анализа. К примеру. Есть у вас некое электрическое поле и оно задано своей напряжённостью. Насколько произвольное оно может быть? Смотришь учебник и видишь, что ротор этого поля поля должен быть равен нулю. Далее задаёшься задачей, а чем вызвано это поле? Допустим зарядами. Смотришь, что там с дивергенцией этого поля. Далее смотришь учебники и видишь, что для многих задач удобно работать не с напряжённостью, а с потенциалом. А напряжённость определяется по потенциалу через его градиент. Как найти потенциал? Открываешь учебник анализа и видишь, что через некоторый интеграл (обратная задача теории поля). Т.е. для начала стоит почитать учебники анализа (главы по теории поля и векторному анализу).

[Munin]

мат-ламер


Обратная задача теории поля не решается в обычных учебниках по анализу. Для этого как раз и читается отдельный курс УМФ. Математическим специальностям вместо него могут читать схожий курс ДУЧП. В общем, это можно читать после знакомства с такими курсами:
- анализ;
- линейная алгебра;
- ТФКП;
- иногда отдельно ряды и преобразования Фурье;
- ОДУ.

[мат-ламер]

Munin в сообщении #1069180 писал(а):

Обратная задача теории поля не решается в обычных учебниках по анализу.

Ну, что-то есть в учебниках анализа (см. Фихтенгольц, т.3., п.671). Я же писал, что кое-что

мат-ламер в сообщении #1069037 писал(а):

Кое-что начальное есть и в обычных учебниках анализа.

Т.е. с чего начинать. А так, конечно.

[Sicker]

Magnus Magnificus
Да, существуют.
Берете интересующее вас электрическое или магнитное поле, для электрического находите потенциал, а для магнитного векторный потенциал(кстати как его выбрать?), применяете к нему оператор Лапласа и вуаля, получаете источники
Правда у вас тогда потенциал на бесконечности должен быть константой( обычно ноль), а то полученные источники будут создавать другое поле, нежели которое вы задали.

[мат-ламер]

А вообще Гуглом поиск по словам типа "обратные задачи матфизики".

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1069284 писал(а):

А вообще Гуглом поиск по словам типа "обратные задачи матфизики".

Вообще, "обратная задача матфизики" - это нечто вообще страшное. Например, обратная задача рассеяния. Лучше не трогайте.

Здесь речь идёт про обычную прямую задачу решения ДУЧП. Ну и про анализ ДУЧП всякий. А "обратная задача" - это что-то скорее сродни восстановлению оператора по тому, как он действует.

[baryshnikov]

Magnus Magnificus в сообщении #1068963 писал(а):

А существуют ли учебники или справочники, которые позволяли бы быстро решать обратную задачу - вычислять источники и проектировать генераторы для произвольного электромагнитного поля в произвольной системе координат

Круто было бы, чтобы еще программу кто-нибудь написал для компьютера, чтобы ты нарисовал поле, задал его физические параметры, а машина тебе выдала бы рисунок источника этого поля и его физические параметры. (Но, наверное, может есть такая программка, если есть, напишите как она называется, кто знает).

[Munin]

Можно использовать разные математические пакеты, от универсальных (Mathematica) до специализированных (COMSOL).

[Magnus Magnificus]

Munin в сообщении #1068994 писал(а):

"Уравнения математической физики"

А какой из них самый лучший - тот, где даются методы решения эллиптических уравнений (как, кажется, можно вычислить требуемые источники, если я верно понял учебник Мизонова)?

Munin в сообщении #1068994 писал(а):

результате быстро получится, что не все поля могут давать удовлетворительный ответ, например, вам хочется поле какой-то конфигурации в пустом пространстве, а выяснится, что это пространство должно быть заполнено проводами, магнитами и т. п.

А если, например, требуется создать некоторый специальный костюм, окутывающий носителя коконом радиальной, широтной и долготной компонент электро- и (или) магнитостатического поля как некоторых функций от радиуса, широты и долготы, причем так, чтобы никакая из составных частей такого костюма не располагалась бы за пределами такого кокона? Разумеется, если пытаться создать электростатическое поле, то в силу закона Кулона оно по-любому когда-нибудь начнет убывать с увеличением радиуса, но в насколько широком диапазоне можно управлять неоднородностями широтной и долготной компонент, используя, например, связь напряженности и поверхностной плотности заряда (которая зависит от формы поверхности проводника)? Везде говорится только, что напряженность электрического поля "особенно велика" для заострений и мала для внутренней поверхности, но даже в "Физической энциклопедии" я не нашел конкретных формул, точно выражающих связь напряженности электрического поля и формы поверхности проводника.

И насколько необходимо использовать ортонормированную систему координат? Сначала я вычислял компоненты тензора ЭМП в сферической системе координат, не используя множители Ламэ, и результат вроде бы оказался правильным, когда я сопоставил то, что получилось, с выражениями сферических компонент векторов через декартовы компоненты в "Математическом справочнике" Г. и Т. Корна, затем, когда пролистал "Теорию электромагнитного поля" Никольского, засомневался, но потом нашел в МТУ вычисление тензора кривизны поверхности сферы, который только затем был преобразован к ортонормированным компонентам.

[Munin]

Magnus Magnificus в сообщении #1069575 писал(а):

А какой из них самый лучший - тот, где даются методы решения эллиптических уравнений (как, кажется, можно вычислить требуемые источники, если я верно понял учебник Мизонова)?

Вообще-то во всех из них даются методы решения эллиптических уравнений.

Мизонов - совершенно неизвестная фамилия. Классикой являются:
- Тихонов, Самарский;
- Владимиров (Владимиров, Жаринов);
- Морс, Фешбах;
- Кошляков, Глинер.
Ещё отдельно для практической работы можно запастись серией справочников Полянина, Зайцева.

Magnus Magnificus в сообщении #1069575 писал(а):

А если, например, требуется создать некоторый специальный костюм

Тогда надо пойти к писателям-фантастам.

Magnus Magnificus в сообщении #1069575 писал(а):

окутывающий носителя коконом радиальной, широтной и долготной компонент электро- и (или) магнитостатического поля как некоторых функций от радиуса, широты и долготы, причем так, чтобы никакая из составных частей такого костюма не располагалась бы за пределами такого кокона?

Это задача о мультипольном разложении. Не всякие функции от радиуса можно так реализовать. Можно только $1/r^{n+1},$ где $n\geqslant 1$ - номер мультиполя. Соответствующие функции сферических координат даются сферическими функциями.

Magnus Magnificus в сообщении #1069575 писал(а):

Везде говорится только, что напряженность электрического поля "особенно велика" для заострений и мала для внутренней поверхности, но даже в "Физической энциклопедии" я не нашел конкретных формул, точно выражающих связь напряженности электрического поля и формы поверхности проводника.

В Физической Энциклопедии после каждой статьи приводится список литературы. Не собирать же в неё одну все формулы! Это получится не пятитомник, а 500-томник!

Magnus Magnificus в сообщении #1069575 писал(а):

И насколько необходимо использовать ортонормированную систему координат?

Можно использовать какую угодно, но вы должны владеть тензорным анализом в этой системе координат. Чем произвольней с.к., тем труднее соответствующий аппарат. Хотя настоящие самураи не боятся трудностей!

[AnatolyBa]

Magnus Magnificus в сообщении #1069575 писал(а):

Везде говорится только, что напряженность электрического поля "особенно велика" для заострений и мала для внутренней поверхности, но даже в "Физической энциклопедии" я не нашел конкретных формул, точно выражающих связь напряженности электрического поля и формы поверхности проводника.

Не может быть такой формулы в общем виде. Напряженность зависит от полной конфигурации источников, проводников, других деталей и вычисляется как правило численно для реальных технических задач. Напряженность действительно увеличивается на заостренных кромках и иголках. Для кромки (двугранного угла) с радиусом скругления $R$ существует оценка $E \sim\frac{1}{R^{\frac{\pi-\alpha}{2\pi-\alpha}}}$, где $\alpha$ - двугранный угол, но коэффициент пропорциональности перед формулой можно определить только вычисляя поле во всей конструкции

[AL Malino]

baryshnikov в сообщении #1069558 писал(а):

Круто было бы, чтобы еще программу кто-нибудь написал для компьютера, чтобы ты нарисовал поле, задал его физические параметры, а машина тебе выдала бы рисунок источника этого поля и его физические параметры. (Но, наверное, может есть такая программка, если есть, напишите как она называется, кто знает).

Некие подобия таких программ имеются. Только не для расчёта статических э.-м. полей (хотя, возможно, существуют и такие), а, например, для расчётов масок, используемых для формирования структур микросхем на кремниевых подложках ультрафиолетом.
Т.е. с их помощью решаются те самые обратные задачи рассеяния, упомянутые Munin'ым. Для двумерных случаев, естественно.