2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упрощение доказательства неравенства
Сообщение31.10.2015, 16:16 


13/08/15
11
Добрый день, суть:
$$2\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^3} < \sqrt{\dfrac{3}{2}}-\frac{3}{4}$$$
Я доказал это через частный случай дзета-функции для $s = 3$ , но для упрощения доказательства ( по идее задача должна решаться школьными методами )
требуется найти ряд, сумма которого равна $\frac{1}{5}$ и каждый член которого больше соответствующего члена исходного ряда. При этом вычисление суммы нужного ряда должна быть принципиально простой и факт того, что член исходного ряда меньше соответствующего члена нужного ряда должен также легко доказываться.
Заранее спасибо.

 i  Deggial: все формулы и термы оформляем $\TeX$ом. Поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение доказательства неравенства
Сообщение31.10.2015, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Попробуйте оценить сверху несобственным интегралом, как это делается в интегральном признаке сходимости ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение доказательства неравенства
Сообщение31.10.2015, 19:02 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
MrDarkness в сообщении #1068701 писал(а):
по идее задача должна решаться школьными методами
Brukvalub в сообщении #1068760 писал(а):
Попробуйте оценить сверху несобственным интегралом
Вы, наверное, в школе были очень умным мальчиком?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение доказательства неравенства
Сообщение31.10.2015, 19:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iifat в сообщении #1068779 писал(а):
Вы, наверное, в школе были очень умным мальчиком?

Да, я учился у профессора Г.И. Архипова, который в тот момент подрабатывал учителем и учил нас рядам, несобственным интегралам о оценкам нулей дзета-функции Римана. Кстати, а разве вас, iifat, не учили в 9-м классе оценивать сверху одни ряды другими? Это же входит в программу 2-й четверти!

-- Сб окт 31, 2015 19:26:24 --

Если же говорить серьезно, то понятно, что фраза
MrDarkness в сообщении #1068701 писал(а):
по идее задача должна решаться школьными методами
может быть расшифрована только как "задачу нужно решить наиболее простым из доступных методов", а не буквально, поскольку школьники умеют суммировать только геометрические прогрессии и специально подобранные "телескопические" суммы, но предложенный ряд сходится неспешно, поэтому прогрессией его не оценить, да и телескопии мне здесь не видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение доказательства неравенства
Сообщение31.10.2015, 19:41 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^3} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^3 + 12n^2 + 6n + 1} \leq \frac{1}{8}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3+n^2} \leq \frac{1}{8}(1 + \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n-1)})$$
Дальше раскладываем на простые множители и считаем "по-школьному". Такой грубости хватает. Сумма, конечно, выходит меньше $\frac{1}{5}$, но если сильно нужно, можно множитель перед всем ещё огрубить. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение доказательства неравенства
Сообщение31.10.2015, 19:44 


13/08/15
11
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение доказательства неравенства
Сообщение31.10.2015, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ну вот, меня и посрамили, предъявив "телескопический" метод. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Упрощение доказательства неравенства
Сообщение01.11.2015, 03:42 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1068783 писал(а):
Это же входит в программу 2-й четверти!
Я с трудом таки помню, чему меня учили. Но вот когда, да ещё и с точностью до четерти — даже не пытаюсь. Вообще не помню, чтоб в школе учили интегралам. Хотя могу и ошибаться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group