Всем привет, я наткнулся на задачу по теории множеств:
Докажите, что если в тождестве, использующем только знаки объединения и пересечения заменить все символы “∪” на “∩”, а “∩” на “∪”, то оно останется верным.
Я не знаю как её решить, поэтому прошу натолкнуть меня на решение. Вот мои мысли:
1) Простые такие тождества - "дистрибутивность" пересечения относительно объединения и наоборот. Если, например, взять тождество
![$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/7/e576bce541ef80415dde72357fac331182.png)
и сменить знаки, то получим очевидно верное тождество
![$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/a/0baa9b9aae8f9550cdf7b720bcc5430a82.png)
. Ясно, что обратно тоже верно. Есть также важные отдельные случаи, если
![$A\cap (A\cup B)=A$ $A\cap (A\cup B)=A$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/d/42db3ff04b4b11c001a390fa96b0223782.png)
, то при смене знаков получится верное тождество
![$A\cup (A\cap B)=A$ $A\cup (A\cap B)=A$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/f/a0f0f1a7285157445670531e6c1d003482.png)
. Ясно, что обратно тоже верно.
2)Представим тождества, использующие “∪” и “∩”, в самом общем плане примерно так:
![$$A_1=A\cap...\cap (B\cap (C\cup D)\cup E\cup...\cup Z)=A'\cap...\cap (B'\cap (C'\cup D')\cup E'\cup...\cup Z')=A_2$$ $$A_1=A\cap...\cap (B\cap (C\cup D)\cup E\cup...\cup Z)=A'\cap...\cap (B'\cap (C'\cup D')\cup E'\cup...\cup Z')=A_2$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/3/a533327db0c4ceefeb09bc06c047006082.png)
![$$B_1=A\cup...\cup (B\cup (C\cap D)\cap E\cap...\cap Z)=A'\cup...\cup (B'\cup (C'\cap D')\cap E'\cap...\cap Z')=B_2$$ $$B_1=A\cup...\cup (B\cup (C\cap D)\cap E\cap...\cap Z)=A'\cup...\cup (B'\cup (C'\cap D')\cap E'\cap...\cap Z')=B_2$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/a/eda4f258c73e5c77f3c1be892a6c93c382.png)
Пусть если
![$A_1=A_2$ $A_1=A_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/6/026f2eb3208066f9c67abd4de15dec7d82.png)
(
![$B_1=B_2$ $B_1=B_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/c/5fc748c7ee8d01ed860d3d6f1118abc082.png)
) - верно, то
![$B_1=B_2$ $B_1=B_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/c/5fc748c7ee8d01ed860d3d6f1118abc082.png)
(
![$A_1=A_2$ $A_1=A_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/6/026f2eb3208066f9c67abd4de15dec7d82.png)
) - тоже верно.
Тогда переход, что если
![$A_1\cap X_0=A_2\cap X_0$ $A_1\cap X_0=A_2\cap X_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/c/53c43903e0c26b8bbaf286d9d70482fc82.png)
- верное тождество, то
![$B_1\cup X_0=B_2\cup X_0$ $B_1\cup X_0=B_2\cup X_0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/7/dd7123726f3a500c901b0813fdb6eda882.png)
- тоже верное тождество очевиден, как и обратный.
Хотелось бы узнать насколько такое док-во правдоподобно.