2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расчет длины дуги.
Сообщение30.10.2015, 18:39 
Аватара пользователя


24/04/15
12
Доброго времени суток!
Читая Зельдовича застопорился на следующем упражнении: "Запишите в виде интеграла длину дуги экспоненциальной кривой $y=e^x$ от точки (0,0) до (1,1) и сделав замену в интеграле переменной $1+e^{2x}=z^2$ найдите длину дуги"
Решение: Длина дуги ищется по следующей формуле $s(a,b) = \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$
отсюда по аналогии $s(0,1) = \int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+e^{2x}}dx$
в ответах в конце книги приведено решение упражнения, но единственное, что смущает - переход вышеупомянутого интеграла через замену в
$s(\sqrt{2},\sqrt{1+e^{2}}) = \int\limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+e^{2}}}\frac{z^{2}dz}{z^{2}-1}}$
Как можно получить такое выражение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет длины дуги.
Сообщение30.10.2015, 18:46 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ViolentMonkey
Ну как, $\[\int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {e^{2x}}} dx} \]$
Делаем замену $\[{z^2} = 1 + {e^{2x}}\]$. Тогда $\[2zdz = 2{e^{2x}}dx \Rightarrow dx = \frac{{zdz}}{{{z^2} - 1}}\]$
Согласно замене нижний предел $\[\sqrt {1 + {e^{2 \cdot 0}}}  = \sqrt 2 \]$, верхний $\[\sqrt {1 + {e^{2 \cdot 1}}}  = \sqrt {1 + {e^2}} \]$
Вот и получаем $\[\int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt {1 + {e^2}} } {\frac{{{z^2}dz}}{{{z^2} - 1}}} \]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет длины дуги.
Сообщение30.10.2015, 18:51 
Аватара пользователя


24/04/15
12
Ms-dos4
большое спасибо, очень помогли

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет длины дуги.
Сообщение30.10.2015, 19:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Первое, что обязано приходить в голову в подобных случаях (это если не знать вообще никакой теории, а много знать вообще вредно) -- так это замена $e^{2x}=t,\ 2e^{2x}dx=dt,\ dx=\frac{dt}{2t}$, откуда сразу выскакивает $\frac{\sqrt{1+t}}t\,dt$, ну а дальше уж очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет длины дуги.
Сообщение30.10.2015, 19:22 
Аватара пользователя


24/04/15
12
ewert
познавательно, мотаем на ус, спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет длины дуги.
Сообщение31.10.2015, 15:57 


29/09/06
4552
Помогите и мне разобраться в этой задачке, плиииз.
ViolentMonkey в сообщении #1068468 писал(а):
"Запишите в виде интеграла длину дуги экспоненциальной кривой $y=e^x$ от точки (0,0) до (1,1)
Сначала я предположил, что (0,0) следует понимать как $(x_0,y_0)=(0,0)$, и аналогично понимать (1,1). Но мне пока не удалось провести экспоненциальную кривую через эти точки.
Я, конечно, сейчас же повторю забытый материал про экспоненты по учебникам.

Но у меня все вопросы отпадут, если мне скажут, что это была десятичная запятая, и типа речь идёт об "от $x_0=0.0$ до $x_1=1.1$". Тогда останется только подправить пределы интегрирования в
Цитата:
$s(0,1) = \int\limits_{0}^{1}\ldots$

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет длины дуги.
Сообщение31.10.2015, 16:19 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Алексей К.
На самом деле это ТС переврал постановку. В оригинале конечно было сказано найти длину дуги экспоненциальной кривой между точками с абсциссами $\[x = 0\]$ и $\[x = 1\]$$\[(0,0)\]$ и $\[(1,1)\]$ фигурировало в задании с параболой)

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчет длины дуги.
Сообщение31.10.2015, 16:36 


29/09/06
4552
Спасибо. Учебники укладываю взад на пыльную полку.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group