Афинные преобразования сферы

[neo66]

Как доказать, что афинные (т.е. переводящие сферические прямые в сферические прямые) преобразования сферы - это изометрии (в обычной метрике)?

[Lion]

Возможно, получится модифицировать аналогичное доказательство для псевдосферы.
Если мы возьмем модель Клейна геометрии Лобачевского, то его аффинными преобразованиями будут в точности проективные преобразования объемлющего пространства, сохраняющие абсолют, которые являются изометриями.
Наверное, теперь стоит посмотреть, как все это меняется при изменении метрики...

[neo66]

Как-то с модификацией пока ничего хорошего не получается.
Неужели никто не знает элементарного доказательства? Это же обычная сфера. А может, это вообще неверно?
Ну, хорошо, добавим в определение афинного преобразования непрерывность. Может это облегчит ситуацию?

[Lion]

А если так: вместо модели Клейна рассмотреть модель Пуанкаре в круге, дробно-линейно отобразить этот круг на всю расширенную плоскость, которая и будет сферой. Вроде верно?..

P.S. Ура! Наконец-то у меня звездочка!

[neo66]

Что- я ничего не понял. Вы хотите сказать, что существует взаимно однозначное отображение плоскости Лобачевского в сферу, переводящее прямые в прямые? Поздравляю! Это - новое слово в математике.