Терминология в теории множеств

[arseniiv]

Хотелось бы задать вопрос тоже, хотя не знаю, стоит ли писать его здесь, а не в новой или какой-то другой теме, потому что он не совсем по любым множествам, а по специфическим (линейно упорядоченным).

arseniiv в сообщении #1118549 писал(а):

Пусть $I$ — множество вида $\{n\in\mathbb Z : a\leqslant n\leqslant b\}$, $\{n\in\mathbb Z : a\leqslant n\}$, $\{n\in\mathbb Z : n\leqslant b\}$ или само $\mathbb Z$.

Интересно, можно ли такое множество как-то коротко назвать? Можно, конечно, присоединить к $\mathbb Z$ (или любому другому л. у. м., не имеющему наибольшего и наименьшего элементов) элементы $\pm\infty$ и сделать запись более короткой: $\{n\in\mathbb Z : a\leqslant n\leqslant b;\; a, b\in\overline{\mathbb Z}\}$, но это самое $\overline{\mathbb Z}$ придётся пояснять…

Сам сначала написал «подмножество $\mathbb Z$ без дырок», но не уверен, что это ясно.

[Someone]

Для линейно (и даже, по-моему, для частично) упорядоченных множеств употребляется такая же терминология, как для числовой прямой: интервал, отрезок, полуинтервал, промежуток.

[arseniiv]

А считается ли промежутком $[2;+\infty)$?

[Someone]

Я привык к тому, что термин "промежуток" может означать любой из трёх предыдущих случаев в моём списке.

[arseniiv]

Со мной так же. Задал не тот вопрос, который был нужен. Если называть промежутком множество, не имеющее супремума/инфимума, тогда проблема в том, что промежутки множествами указанного вида не исчерпываются. Хотя «промежуток, содержащий свои точные грани [те, которые существуют]» — уже годится, и не очень-то длинно. Возможно, этого ответа и хватит — вряд ли есть что-то короче.

[Someone]

Для записи неограниченных промежутков можно ввести "несобственные элементы" $+\infty$ и $-\infty$, которые, соответственно, "больше всех" и "меньше всех". А что касается ограниченных, то, конечно, рассматривая линейно упорядоченное множество рациональных чисел само по себе (не вкладывая его в множество действительных чисел), мы не имеем возможности написать $(0;\sqrt{2})$.

[Anton_Peplov]

Еще вопрос по поводу определения композиции функций. Согласно Виро и К, композицией отображений $f: X \to Y$ и $g: Y \to Z$ называется отображение $g \circ f: X \to Z$ вида $z = g(f(x))$. По определению, область значений $f$ должна быть областью определения $g$. Поэтому говорить о композиции $g \circ f$ функций $ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ f(x): y = x + 1$ и $\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ \ g(y): z = \sqrt y$ нельзя. Можно говорить о композиции сужения $f(x)$ на $\mathbb{R_+}}$ и $g(x)$, т.е. о $g \circ f_{|\mathbb{R_+}}$.
Это я правильно понимаю?

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1118608 писал(а):

Это я правильно понимаю?

Я всегда интерпретировал композицию именно так.

Anton_Peplov в сообщении #1118608 писал(а):

область значений $f$ должна быть областью определения $g$

Множество значений $f$ должно содержаться в области определения $g$.

[ewert]

Хм. Интересно: а $\sqrt{\sin x}$ -- это композиция или нет?... Согласно любому из двух предложенных вариантов.

Я к тому, что вопрос этот довольно-таки празден.

[Someone]

Композиция. На соответствующем множестве.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1118616 писал(а):

Интересно: а $\sqrt{\sin x}$ -- это композиция или нет?... Согласно любому из двух предложенных вариантов.

Композиция $g \circ f$ функций $f(x): A \to \mathbb{R_+}: y = \sin x$ и $g(y): \mathbb{R_+} \to \mathbb{R_+}: z = \sqrt y$. Где $A$ - множество всех действительных чисел, синус которых неотрицателен.

ewert в сообщении #1118616 писал(а):

Я к тому, что вопрос этот довольно-таки празден.

Когда мы рассматриваем две конкретные функции с известными свойствами, такие как синус и корень, нам действительно не нужно вдаваться во все это занудство. Как только мы пытаемся формулировать общие утверждения типа "Если $g \circ f$ - инъекция, то $f$ - инъекция", нюансы определений становятся важны.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1118647 писал(а):

Где $A$ - множество всех действительных чисел, синус которых неотрицателен.

Конечно. Только, видите ли, это не подпадает формально ни под Ваш вариант определения, ни под вариант Someone. Поскольку сами по себе корень и синус имеют вполне определённые области определения и образы -- до тех пор, пока что-то специально не оговорено. А в формуле как таковой никаких оговорок не содержалось. И тем не менее это -- да, общепринято композиция.

[Munin]

Вы ещё спросите, а $\sqrt{\sin x-2}$ - это композиция?

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1118654 писал(а):

Поскольку сами по себе корень и синус имеют вполне определённые области определения и образы -- до тех пор, пока что-то специально не оговорено. А в формуле как таковой никаких оговорок не содержалось. И тем не менее это -- да, общепринято композиция.

Общепринято считать запись $\sqrt \sin x$ композицией корня с сужением синуса на $A$, а не с синусом, определенным на всем $\mathbb{R}$. До тех пор, пока что-то специально не оговорено.

[ewert]

Munin в сообщении #1118668 писал(а):

Вы ещё спросите, а $\sqrt{\sin x-2}$ - это композиция?

Кого спрашивать -- и зачем?...

Конечно, композиция.

-- Ср апр 27, 2016 18:15:40 --

Anton_Peplov в сообщении #1118670 писал(а):

Общепринято считать запись $\sqrt \sin x$ композицией корня с сужением синуса на $A$, а не с синусом, определенным на всем $\mathbb{R}$.

Нет. Общепринято не "считать" что-то для конкретно синуса, корня и т.д., а полагать по определению, что всегда область определения композиции $g\circ f$ -- это прообраз пересечения образа $f$ с областью определения $g$.

И приличия ради подобные слова должны присутствовать в формальном определении композиции. Но не обязательно. Если их нет, то они просто подразумеваются (иначе определение лишалось бы формального смысла).