Интеграл Лебега и то, что ему сопутствует

[TD]

Подскажите по поводу нескольких вопросов по задаче:
Даны две функции:
$ f_1(t) = \begin {cases} t \ln{t}, & t\in {\left [ 0; \frac{4}{5} \right ] } \setminus K; \\ (-1)^n, & t \in \left [ 1- \frac{1}{5^n}; 1 - \frac{1}{5^{n+1}} \right ] \setminus K, n \in N; \\ \arctg{t}, & t \in K. \end{cases} $ и $ f_2(t) = \begin {cases} \frac{1}{\sqrt[3]{-3+t}}, & t\in { [-3; 1] \setminus Q }; \\ t^2+1, & t \in [ 1; 2] \cup [-3;1] \cap Q. \end{cases} $
Для каждой функции требуется:
а) выяснить, является ли f_k ограниченной;
б) найти меру множества точек разрыва;
в) определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;
г) выяснить, измерима ли f_k;
д) найти интегралы Лебега $ \int \limits_{[0,1]} f_1(t)\, dt; \int \limits_{[-3,2]} f_2(t)\, dt$, если они существуют.

Я так понимаю, что $ \int \limits_{[0, 1]} f_1(t)\, dt = \int \limits_0^{4/5} t \ln {t} \, dt + \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \left(\frac{1}{5^{n}} - \frac{1}{5^{n+1}} \right )}; $
Посчитав первый интеграл (Римана) и найдя сумму ряда тоже, я найду интеграл Лебега функции f_1. Верно?
Для второй функции $ \int \limits_{[-3, 2]} f_2(t)\, dt = \int \limits_{-3}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{-3+t}} \, dt + \int \limits_{1}^{2} (t^2+1) \, dt $
То, что обе функции ограничены, очевидно, меры точек разрыва 0 (мера Лебега Канторова множества 0 и мера рациональных точек вида $\frac{1}{5^n}$ и вообще любых тоже ноль).
Вопрос у меня по пунктам в) и г). Интеграл Римана же существует, если существует вещественный предел интегральных сумм. Как тут это доказать?
Чтобы функция была интегрируема по Лебегу, она должна быть измеримой, как это в моем случае доказать? Подскажите, пожалуйста, на одном из примеров.

[Gordmit]

1) Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: ограниченная функция интегрируема по Риману на отрезке тогда и только тогда, когда множество ее точек разрыва на этом отрезке имеет лебегову меру нуль.

2) Если функция интегрируема по Риману на отрезке, то она интегрируема и по Лебегу, причем значения интегралов равны.

3)

TD писал(а):

Я так понимаю, что $ \int \limits_{[0, 1]} f_1(t)\, dt = \int \limits_0^{4/5} t \ln {t} \, dt + \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \left(\frac{1}{5^{n}} - \frac{1}{5^{n+1}} \right )}; $
Посчитав первый интеграл (Римана) и найдя сумму ряда тоже, я найду интеграл Лебега функции f_1. Верно?

Верно.

[TD]

Меня вот только немного смущает кусок функции \arctg{t} для t\in K. Как правильно обосновать то, что он не фигурирует в вычислениях интеграла?

[Brukvalub]

А что есть К?

[Gordmit]

$K$, по-видимому, канторово множество на $[0,1]$.
Обосновать, по моему мнению, можно так. Эта функция интегрируема по Риману, а значит и по Лебегу. Интеграл Лебега не изменяется от изменения значений функции на множестве меры 0. Значит, интеграл Римана (т.к. он равен интегралу Лебега) тоже не изменится. Так что этот арктангенс на канторовом множестве мы можем заменить на то, что нам нужно.

[Brukvalub]

Gordmit писал(а):

$K$, по-видимому, канторово множество на $[0,1]$.

Опять я не понял Этих Канторовых множеств на отрезке - как у дурака махорки. Какое же из них брать? (во я бестолковый стал, стремительно теряю телепатические способности...).

[TD]

Gordmit писал(а):

$K$, по-видимому, канторово множество на $[0,1]$

Так точно.
Brukvalub,
Канторово множество

Gordmit писал(а):

Интеграл Лебега не изменяется от изменения значений функции на множестве меры 0. Значит, интеграл Римана (т.к. он равен интегралу Лебега) тоже не изменится. Так что этот арктангенс на канторовом множестве мы можем заменить на то, что нам нужно.

Ну да, здесь, получается на множестве меры ноль (канторовом) я заменяю арктангенс на $t\ln{t}$, при этом интеграл не меняется. Но точка 0 из - канторова множества, и она не входит в область определения $\ln{t}$.
Как ее тут корректно разрулить? Получится ли $\int_0^{\frac{4}{5}}} t\ln{t}\, dt$ несобственным? Я, честно говоря, уже не помню, какие их там виды бывают... И как это согласуется с тем, что "для того, чтобы существовал собственный интеграл Римана от заданной функции, необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена и множество точек ее разрыва имело меру Лебега, равную нулю."

[Brukvalub]

TD писал(а):

Получится ли $\int_0^{\frac{4}{5}}} t\ln{t}\, dt$ несобственным?

А где у него особенность

[Hymilev]

Gordmit писал(а):

1) Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: ограниченная функция интегрируема по Риману на отрезке тогда и только тогда, когда множество ее точек разрыва на этом отрезке имеет лебегову меру нуль.

получается функция заданная на отрезке [0,1] следующим образом y=x - для всех иррациональных x и 0 -для всех рациональных x будет интегрируема по Риману?
вроде множество точек разрыва имеет меру равную нулю и функция ограниченная

[Someone]

Hymilev писал(а):

получается функция заданная на отрезке [0,1] следующим образом y=x - для всех иррациональных x и 0 -для всех рациональных x будет интегрируема по Риману?
вроде множество точек разрыва имеет меру равную нулю и функция ограниченная

Она разрывная во всех точках, кроме $x=0$.

[TD]

Brukvalub писал(а):

TD писал(а):

Получится ли $\int_0^{\frac{4}{5}}} t\ln{t}\, dt$ несобственным?

А где у него особенность

ну меня смущает, что $\int_0^{4/5} t\ln{t} \, dt = \left [ \frac{t^2}{2} \ln{t} + \frac{t^2}{4} \right ]_0^{4/5}$ и я в первом слагаемом не могу спокойно подставить t=0, а могу его устремить к нулю справа.

[Brukvalub]

TD писал(а):

и я в первом слагаемом не могу спокойно подставить t=0, а могу его устремить к нулю справа.

Вот и устремите!

[Hymilev]

Someone писал(а):

Hymilev писал(а):

получается функция заданная на отрезке [0,1] следующим образом y=x - для всех иррациональных x и 0 -для всех рациональных x будет интегрируема по Риману?
вроде множество точек разрыва имеет меру равную нулю и функция ограниченная

Она разрывная во всех точках, кроме $x=0$.

под критерий попадает или нет?

[Brukvalub]

Все точки отрезка $[0,1]$, кроме точки 0, составляют множество Лебеговой меры 1. Значит, эта функция критерию Лебега не удовлетворяет.