Подгруппы

[log_evgenyi]

Пусть $K$ и $H$ подгруппы группы $G$ Доказать, что множество $KH=\left\lbrace xy|x\in K,y\in H\right\rbrace$ будет подгруппой группы $G$ тогда и только тогда когда $KH=HK$

[Dan B-Yallay]

Собственные попытки решения?

[log_evgenyi]

Dan B-Yallay в сообщении #1068200 писал(а):

Собственные попытки решения?

Я не знаю с чего начать.

[Dan B-Yallay]

Допустим, что $KH=HK$... проверьте выполнение аксиом группы.

[log_evgenyi]

Наличие еденицы. Еденицей подгруппы явл. ед. группы?Наличие обратного элемента$(xy)(xy)^{-1}=xyy^{-1}x^{-1}$

[Dan B-Yallay]

Давайте не так сумбурно. Вот аксиомы группы

1) ассоциативность: $\forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c)$;
2) наличие нейтрального элемента: $\exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a)$;
3) наличие обратного элемента: $\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

и доказывайте, что если $KH=HK$ то она - группа.