История развития пределов (В мат. анализе)

[derder]

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста литературу по истории развития пределов, если таковая имеется. Если просто читать учебник то замечаешь, что теории выше крыши, а собственно как это и где применяется не понятно. А от того и разбираться в доказательствах, да и просто читать, не понимая что к чему, не очень интересно. Я говорю о таких вещах, как "Предельный переход в неравенствах", как и где мне или кому-то еще это может пригодится в жизни. Я понимаю, что такую задачу, чисто абстрактную, можно придумать, но в реальности бывают ли задачи, когда требуется применить эти теоремы? Потом такие вещи, как - "Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция". Я думаю Вы уловили, в какой именно области лежат мои вопросы. То что на пределах построено дифференциальное и интегральное исчисление я знаю, но ясности за чем нужны вся остальная куча теорем я не понимаю... И не понятно в какой последовательности они были разработаны. Например теорию пределов подгоняли под дифференциальное исчисление или пределы дошли до такого уровня, что само собой начали вытекать понятия производной а затем интеграла?

Я догадываюсь, что мой вопрос очень расплывчатый, поэтому мне бы и хотелось узнать есть ли литература на эту тему. И бывают ли задачи на эту тему. Только поближе к физике, а не совершенно абстрактные. Например очень распространенный случай когда надо исследовать функцию. А бывают ли задачи в физике/механике/гидравлике и т.п. когда надо исследовать функцию?

Спасибо за внимание!

[Munin]

Литература на эту тему есть, но изучение истории не поможет вам, а окончательно запутает. История двигалась непрямыми путями, совсем не так ясно, как изложено в учебнике.

Сегодня три понятия образуют некое единство: предел, непрерывность и производная. Это было достигнуто не сразу, а трудами Коши и Вейерштрасса, гораздо позднее появления вообще понятий производной и первообразной. Первопроходцы, Ньютон и Лейбниц, и вплоть до Эйлера, понимали производные как некоторое отношение "актуальных бесконечно малых". Это понятие не удавалось сделать строгим, и из-за этого не удавалось и доказать результаты применения дифференциального и интегрального исчисления.

derder в сообщении #1068124 писал(а):

Например очень распространенный случай когда надо исследовать функцию. А бывают ли задачи в физике/механике/гидравлике и т.п. когда надо исследовать функцию?

Да, бывают. Например, вот функция $\dfrac{a}{r^2}-\dfrac{b}{r},$ с положительными коэффициентами, рассмотренная на положительной полупрямой. От того, как она себя ведёт, зависит притяжение и отталкивание тел в одной широко известной задаче. Или другая функция, $ap^2+b\cos q,$ рассмотренная на плоскости $(p,q),$ описывает устойчивость и неустойчивость в другой широко известной задаче.

[мат-ламер]

derder в сообщении #1068124 писал(а):

Подскажите пожалуйста литературу по истории развития пределов, если таковая имеется.

Не надо ограничиваться пределами. Берите книгу по истории математики. Например, Стройк Д. Краткий очерк истории математики.

-- Чт окт 29, 2015 21:17:18 --

derder в сообщении #1068124 писал(а):

То что на пределах построено дифференциальное и интегральное исчисление я знаю, но ясности за чем нужны вся остальная куча теорем я не понимаю..

Пределы нужны не только (и не сколько) для обоснования диф. и интегр. исчисления. Куча вычислений в математике и физике основано на применении бесконечных рядов, которые являются теми же пределами, только в другой записи.

[provincialka]

Очень кратко и условно можно сказать так: пределы нужны математикам для полноты и строгости теории. Пока не была разработана строгая теория, в тонких и сложных случаях даже великие математики делали ошибки, что уж говорить об обыкновенных... Поэтому пришлось доказывать все факты, в том числе и "очевидные".

Но для приложений это все не очень нужно... ИМХО...

(Оффтоп)

Может, во мне говорит математический снобизм.

[мат-ламер]

provincialka в сообщении #1068177 писал(а):

Но для приложений это все не очень нужно... ИМХО...

У меня тут своё ИМХО. Важнейшая задача в вычислительной математике является выяснение вопроса о сходимости какого-то процесса (по сути вычисляем предел и доказываем его существование).

-- Чт окт 29, 2015 21:29:59 --

derder в сообщении #1068124 писал(а):

Только поближе к физике

Если интересы лежат ближе к физике, то для начала следует почитать популярную литературу типа Зельдовича и Яглома ( Высшая математика ...) не заморачиваясь с обоснованиями.

[provincialka]

мат-ламер в сообщении #1068178 писал(а):

Важнейшая задача в вычислительной математике

Так это математика! А ТС о "жизни" говорит... В смысле, о физике.

[Pphantom]

provincialka в сообщении #1068180 писал(а):

Так это математика! А ТС о "жизни" говорит... В смысле, о физике.

Получение всяческих асимптотических приближений и оценок - штука в приложениях чрезвычайно полезная, и тут пределы вполне нужны. Другое дело, что вопросы вроде

derder в сообщении #1068124 писал(а):

А бывают ли задачи в физике/механике/гидравлике и т.п. когда надо исследовать функцию?

вызывают желание написать краткий ответ "да" и поставить смайлик .

[provincialka]

Pphantom в сообщении #1068182 писал(а):

Получение всяческих асимптотических приближений и оценок

Вот соглашусь! Но, если я правильно поняла, ТС говорит не о вычислении пределов, а о всяких "занудных" теоремах типа "предел суммы равен сумме пределов".

[Pphantom]

provincialka в сообщении #1068184 писал(а):

Но, если я правильно поняла, ТС говорит не о вычислении пределов, а о всяких "занудных" теоремах типа "предел суммы равен сумме пределов".

Ну а как их без этой "занудной теоремы" считать? Не по определению же...

[provincialka]

Нет, факт-то нужный! Просто у нематематиков, как мне кажется, вызывает оторопь, когда им такую очевидноть начинают доказывать! Эпсилонами разными мучают, дельтами ...
Вот же ТС пишет:

derder в сообщении #1068124 писал(а):

говорю о таких вещах, как "Предельный переход в неравенствах",

derder в сообщении #1068124 писал(а):

такие вещи, как - "Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция".

Я, например, стараюсь в курсе сначала дать содержательные вещи, а потом, в виде приложения, что-то доказать...

(Оффтоп)

Впрочем, все это в прошлом: со всеми этими спецкурсами простой, нормальный матанализ мне уже практически не дают ...

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1068178 писал(а):

У меня тут своё ИМХО. Важнейшая задача в вычислительной математике является выяснение вопроса о сходимости какого-то процесса (по сути вычисляем предел и доказываем его существование).

Вообще-то, по сути это разные вещи. Существование предела необходимо для сходимости процесса, но чаще всего совершенно недостаточно.

provincialka в сообщении #1068188 писал(а):

Просто у нематематиков, как мне кажется, вызывает оторопь, когда им такую очевидноть начинают доказывать!

Вот это, кстати, верно замечено, и начинается ещё со школьной геометрии. И верно, не всех же воспитывать в математиков!

[Yuri Gendelman]

provincialka в сообщении #1068177 писал(а):

пределы нужны математикам для полноты и строгости теории. Пока не была разработана строгая теория, в тонких и сложных случаях даже великие математики делали ошибки, что уж говорить об обыкновенных...

Студентам был бы очень полезен пример такого случая.

[provincialka]

Ох... Кажется, у Коши что-то такое было... В связи с рядами Фурье. А кто-то из великих считал, что непрерывная функция всегда дифференцируема... Но это надо обратиться к знатокам истории математики...

-- 30.10.2015, 00:15 --

Может, тему такую открыть? Спросить знатоков?

(Оффтоп)

уж полезнее, чем обсуждать ошибки форумчан и шахматистов

[Human]

provincialka в сообщении #1068253 писал(а):

Ох... Кажется, у Коши что-то такое было... В связи с рядами Фурье.

Коши однажды опубликовал доказательство теоремы о том, что сумма любого сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна. Спустя какое-то продолжительное время Абель построил контрпример к ней, пользуясь рядами Фурье.

Но там, по-моему, суть была в том, что Коши и Абель понимали сходимость по-разному, и в своей работе Коши, по существу, пользовался именно равномерной сходимостью, а назвал это просто (поточечной) сходимостью, что и вызвало недоразумение.

И да, я не знаток истории, так что могу ошибаться в деталях.

[provincialka]

В общем, "ошибки" скорее могут появиться в таких, не совсем очевидных, вопросах. В теме "Переход к пределу в неравенствах" вряд ли можно ошибиться... Разве что, совсем зеленый новичок может не догадаться, что из строгого неравенства $x_n <y_n$ следует, вообще говоря, нестрогое $\lim x_n\leqslant \lim y_n$. Просто это такой математический "стандарт качества" -- все доказывать.