Луч, пересекающий окружности

[Dmitry Tkachenko]

В $\mathbb{R}^2$ дано множество $D_n$ не пересекающихся единичных окружностей. Пусть $f(n)$ --- количество окружностей из $D_n,$ которые полностью лежат в окружности радиуса $n$ с центром в нуле. Известно, что ${\lim \inf}\limits_{n \to \infty} \dfrac{f(n)}{n^2}=c>0.$ Показать, что найдётся луч, выходящий из начала координат, который пересечёт бесконечное количество окружностей из $D_n.$

[Evgenjy]

Слой $n$: множество всех окружностей из данных единичных окружностей, центы которых находятся от начала координат на расстоянии от $n-0,5$ до $n+0,5$. $S$ -- единичная окружность с центром в начале координат. $p_n$ -- проекция $n$-го слоя на $S$. Существует бесконечно много слоев у которых $p_n>c/2$. Существует точка на $S$, которая накрыта бесконечным числом проекций слоев. Луч, проходящий через эту точку,-- искомый.

(Оффтоп)

Замечание. Индекс $n$ в обозначении множества $D_n$ в условии задачи не имеет смысла.

[Dmitry Tkachenko]

Evgenjy в сообщении #1067410 писал(а):

$p_n$ -- проекция $n$-го слоя на $S$.

Что означит проекция?

[iancaple]

Evgenjy в сообщении #1067410 писал(а):

Существует бесконечно много слоев у которых $p_n>c/2$. Существует точка на $S$, которая накрыта бесконечным числом проекций слоев.

А это из чего следует? Из того, что сумма мер $p_n$ бесконечна? так это не следует, например интервалы $(0,\frac 1n)$имеют бесконечную сумму длин, а множество точек, принадлежащих бесконечному числу из этих интервалов -пусто. Более сложный пример отрезки $\left[\frac 1{n^2},\frac 1n\right]$.
Как именно Вы будете использовать условие $p_n>c/2$? Это тут самое интересное.
Dmitry Tkachenko,конечно, центральная проекция из начала координат
Вам бы подождать пока мы договоримся.

[Dmitry Tkachenko]

iancaple в сообщении #1067450 писал(а):

Вам бы подождать пока мы договоримся.

Что Вы имели в виду?

iancaple в сообщении #1067450 писал(а):

,конечно, центральная проекция из начала координат

Хорошо.

Evgenjy в сообщении #1067410 писал(а):

Замечание. Индекс $n$ в обозначении множества $D_n$ в условии задачи не имеет смысла.

Там должно быть $\{D_n\}.$ Эти индексы для того, чтобы наше множество не пришлось нумеровать и сразу рассматривать множество $\{I_n\}$ лучей пересекающих $n$-ый круг, каждый из элементов которого биективно отображается на какой-то отрезок из $[0,2\pi].$

[TOTAL]

Evgenjy в сообщении #1067410 писал(а):

Существует точка на $S$, которая накрыта бесконечным числом проекций слоев.

Откуда следует, что такая точка существует?

Очевидно, что существует такой луч, что для любого $M$ в любой окрестности этого луча найдется луч, пересекающий более $M$ окружностей. Дальше что?

[iancaple]

Множество точек, принадлежащих бесконечному числу $p_k$, можно записать как

$$p=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}p_k$$

. Вот надо доказать, что оно непусто. Проблема, однако.

[Dmitry Tkachenko]

iancaple, можно показать, что мера Лебега $\lambda_1(\lim \inf I_n)>0.$

[iancaple]

iancaple в сообщении #1067678 писал(а):

$$p=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}p_k$$

.

Действительно, тут пересекаются вложенные множества, мера каждого не меньше $\frac c2$, мера пересечения не меньше $\frac c2$, мой вопрос снят. А кто еще как решал?

[grizzly]

iancaple в сообщении #1067700 писал(а):

А кто еще как решал?

А я не постесняюсь спросить про условие. Так и не понял, зачем там индексы, ну это ладно -- ясно, что ТС как-то смог их использовать в своём решении и счёл универсально полезными. Интересует другое: если снять ограничение на непересекаемость окружностей и нижний предел в соответствующей формуле заменить на верхний -- утверждение разве не останется верным?

[iancaple]

grizzly в сообщении #1067715 писал(а):

Интересует другое: если снять ограничение на непересекаемость окружностей и нижний предел в соответствующей формуле заменить на верхний -- утверждение разве не останется верным?

не останется.Здесь $n$-я окружность присутствует в $n$ своих копиях, совпадающих расположением.

И в чем-то проекции их на единичную окружность с центром в нуле ведут себя так же, как последовательность отрезков $\left[ \frac 1{2n},\frac 1n\right]$

[grizzly]

iancaple
Да, конечно. Это хорошая иллюстрация к сказанному Вами выше. Действительно, никакая "взвешенность" этих проекций ничего не даст, если пересечение пусто.
Спасибо!

[Dmitry Tkachenko]

Пусть $I_n$ - множество лучей, пересекающих окружность $D_n.$ Отождествим его с отрезком $[\alpha_n, \beta_n]\subset [0, 2\pi].$ Покажем, что $\lim \inf_{n\to \infty} I_n \ne \varnothing,$ то есть $\lambda_1 \bigg( \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{j=n}^{\infty} I_j\bigg)=\lim_{n\to \infty} \lambda_1 \bigg( \bigcup_{j=n}^{\infty} I_j \bigg)>0.$

Общая площадь кругов, которые полностью лежат в окружности радиуса $n$ с центром в $0,$ равна $\pi f(n).$
А общая площадь секторов, которые соответствуют отрезкам из $\bigcup_{j=n}^{\infty} I_j$ и ограничены окружностью радиуса $n$ с центром в $0,$ равна $\dfrac{n^2}{2} \lambda_1 \bigg( \bigcup_{j=n}^{\infty} I_j \bigg).$

Далее показываем, что $0 < c =\lim \inf_{n\to \infty} \dfrac{f(n)}{n^2}\pi \leqslant \lim_{n\to \infty} \lambda_1 \bigg( \bigcup_{j=n}^{\infty} I_j \bigg).$

[Aritaborian]

(Dmitry Tkachenko, про ТеХ)

Предел, объединение etc. будут выглядеть более красиво, если при наборе использовать ключевое слово \limits: $\lim \limits _{n \to \infty} a_n$, $\bigcup \limits _{i=1} ^\infty A_i$.

[Dmitry Tkachenko]

(Aritaborian, про ТеХ)

Да, я это знаю, в чем можно убедиться, посмотрев на моё сообщение. Просто торопился и писал с телефона (не удобно). Прошу прощение за получившуюся громоздкость.

-- 28.10.2015, 17:27 --

Прошу прощения, я очень торопился, когда писал. Должно быть так:

Пусть $I_n$ - множество лучей, пересекающих окружность $D_n.$ Отождествим его с отрезком $[\alpha_n, \beta_n]\subset [0, 2\pi].$ Покажем, что $\lim\inf\limits_{n\to \infty} I_n \ne \varnothing,$ то есть

$$\lambda_1 \bigg( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \bigcap_{j=n}^{\infty} I_j\bigg)=\lim\limits_{n\to \infty} \lambda_1 \bigg( \bigcap_{j=n}^{\infty} I_j \bigg)>0.$$

Общая площадь кругов, которые полностью лежат в окружности радиуса $n$ с центром в $0,$ равна $\pi f(n).$
А общая площадь секторов, которые соответствуют отрезкам из $\bigcap\limits_{j=n}^{\infty} I_j$ и ограничены окружностью радиуса $n$ с центром в $0,$ равна $\dfrac{n^2}{2} \lambda_1 \bigg( \bigcap\limits_{j=n}^{\infty} I_j \bigg).$

$$\pi f(n)\leqslant \pi (n-1) + \dfrac{n^2}{2} \lambda_1 \bigg( \bigcap\limits_{j=n}^{\infty} I_j \bigg).$$

Откуда следует, что $0 < c =\lim \inf\limits_{n\to \infty} \dfrac{f(n)}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{2\pi} \lim\limits_{n\to \infty} \lambda_1 \bigg( \bigcap\limits_{j=n}^{\infty} I_j \bigg).$