Гамма-распределение.

[Don-Don]

Есть еще вопросы по задаче:

Случайная величина $\xi$ имеет Гамма распределение с параметрами $1,2$, найти функцию распределения случайной величины $\max(\xi,\xi^3)$.

Говорят, что случайная величина $X$ имеет гамма-распределение с параметрами $a>0$ и $b>0$, если её плотность распределения вероятностей имеет вид

$f_\xi(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\\dfrac{b^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-bx},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$, где $\;\;\;\;\;\Gamma(a)=\int\limits_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}\,dt$ — гамма-функция Эйлера.

В нашем случае для распределения $\xi$ будет $a=1$, но как-то подозрительно все просто. Значит что-то не так.

$f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ 2e^{-2x},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$, где $\;\;\;\;\;\Gamma(1)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt=1$.

Получается свелось к показательному распределению дело.

Для распределения $\xi^3$

$f_{\xi^3}(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ 2e^{-2x^3},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$

Правильно ли это? А как дальше, пока что не получается понять, подскажите, пожалуйста!

[iancaple]

Раз показательное, интегральную функцию распределения $F_{\xi}(x)$ выразите формулой.
искомая
$F(x)=$ $\\F_{\xi}(x),x<1\\F_{\xi}(\sqrt[3]x)=P(\xi^3<x),x>1$

[Brukvalub]

Don-Don в сообщении #1066946 писал(а):

Для распределения $\xi^3$

$f_{\xi^3}(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ 2e^{-2x^3},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$

В "Угадайку" играете? Почитайте лучше Чернову.

[Don-Don]

iancaple в сообщении #1066962 писал(а):

Раз показательное, интегральную функцию распределения $F_{\xi}(x)$ выразите формулой.
искомая
$F(x)=$ $\\F_{\xi}(x),x<1\\F_{\xi}(\sqrt[3]x)=P(\xi^3<x),x>1$

Спасибо!

$F(x)=$ $\\ 1-e^{-2x},x<1\\ \int_1^{\infty}e^{-2x^3}dx,x>1$

Но только откуда мы получили $x=1$?

[ИСН]

От верблюда. Что больше: число или его куб?

[Don-Don]

ИСН в сообщении #1066967 писал(а):

От верблюда. Что больше: число или его куб?

В зависимости от того -- больше ли $1$. Понял над чем думать, спасибо!

-- 26.10.2015, 02:28 --

По теореме 36 из Черновой

$f_{\xi^3} (x)=(\sqrt[3]{x})'f_\xi (x)$

$f_{\xi^3} (x)=\dfrac{f_\xi (x)}{3\sqrt{x^2}}$

Правильно ли?

-- 26.10.2015, 02:30 --

$f_{\xi^3}(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ \frac{2}{3\sqrt{x^2}}e^{-2x},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$,

[Otta]

Don-Don в сообщении #1066978 писал(а):

$f_{\xi^3} (x)=\dfrac{f_\xi (x)}{3\sqrt{x^2}}$

Что за печаль с корнем? Да и вообще неправда.

Don-Don в сообщении #1066978 писал(а):

$f_{\xi^3}(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ \frac{2}{3\sqrt{x^2}}e^{-2x},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$

Неверно, и что характерно, оно Вам и особо и не надо.

Don-Don в сообщении #1066966 писал(а):

$F(x)=$ $\\ 1-e^{-2x},x<1\\ \int_1^{\infty}e^{-2x^3}dx,x>1$

Вообще ерунда.
У меня есть опасение, что если Вы будете пользоваться готовыми рецептами без понимания, то так ничего и не поймете.

Такие задачи решаются всегда стандартно: функции распределения ищутся по определению. Выписываете определение функции распределения Вашей случайной величины $\eta=\max(\xi,\xi^3)$ и тщательно с ним разбираетесь. Раз уж Вы взяли в руки учебник, то даже пример там наверняка найдется, разумеется, не в точности такой же, но такой, который может помочь. Но можно поизобретать велосипед и самостоятельно.

Определение-то как будет выглядеть?

[Don-Don]

А что посоветуете почитать на данную тему?

$F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x )$

C утра еще зайду, посмотрю.

[Otta]

Вот им и пользуйтесь. Только для вашей конкретной случайной величины. Прямо определение и начинаете выписывать - для нее. Что почитать - не подскажу, это слишком часто встречающийся тип задач. Думаю, у Черновой должно быть, посмотрите.

[Don-Don]

$F(x)=\begin{cases} F_\xi(x)&\text{если $x>1$;}\\ F_{\xi^3(x)},&\text{если $x\le 1$;}\\ \end{cases}$

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-2\sqrt[3]{x}}&,\; x\in [0;1], \\ 1-e^{-2x}&,\; x >1.\\ 0. &,\;x<0 \end{matrix}\right.$

Правильно?

[iancaple]

перепутаны случаи <1 и >1.

[Don-Don]

iancaple в сообщении #1067060 писал(а):

перепутаны случаи <1 и >1.

Точно, спасибо!