2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 00:37 


04/03/14
194
Есть еще вопросы по задаче:

Случайная величина $\xi$ имеет Гамма распределение с параметрами $1,2$, найти функцию распределения случайной величины $\max(\xi,\xi^3)$.

Говорят, что случайная величина $X$ имеет гамма-распределение с параметрами $a>0$ и $b>0$, если её плотность распределения вероятностей имеет вид

$f_\xi(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\\dfrac{b^a}{\Gamma(a)}x^{a-1}e^{-bx},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$, где $\;\;\;\;\;\Gamma(a)=\int\limits_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}\,dt$ — гамма-функция Эйлера.

В нашем случае для распределения $\xi$ будет $a=1$, но как-то подозрительно все просто. Значит что-то не так.

$f(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ 2e^{-2x},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$, где $\;\;\;\;\;\Gamma(1)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-t}\,dt=1$.

Получается свелось к показательному распределению дело.

Для распределения $\xi^3$

$f_{\xi^3}(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ 2e^{-2x^3},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$

Правильно ли это? А как дальше, пока что не получается понять, подскажите, пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 00:49 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Раз показательное, интегральную функцию распределения $F_{\xi}(x)$ выразите формулой.
искомая
$F(x)=$ $\\F_{\xi}(x),x<1\\F_{\xi}(\sqrt[3]x)=P(\xi^3<x),x>1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Don-Don в сообщении #1066946 писал(а):
Для распределения $\xi^3$

$f_{\xi^3}(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ 2e^{-2x^3},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$

В "Угадайку" играете? Почитайте лучше Чернову.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 00:55 


04/03/14
194
iancaple в сообщении #1066962 писал(а):
Раз показательное, интегральную функцию распределения $F_{\xi}(x)$ выразите формулой.
искомая
$F(x)=$ $\\F_{\xi}(x),x<1\\F_{\xi}(\sqrt[3]x)=P(\xi^3<x),x>1$


Спасибо!

$F(x)=$ $\\ 1-e^{-2x},x<1\\ \int_1^{\infty}e^{-2x^3}dx,x>1$

Но только откуда мы получили $x=1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
От верблюда. Что больше: число или его куб?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 01:14 


04/03/14
194
ИСН в сообщении #1066967 писал(а):
От верблюда. Что больше: число или его куб?

В зависимости от того -- больше ли $1$. Понял над чем думать, спасибо!

-- 26.10.2015, 02:28 --

По теореме 36 из Черновой

$f_{\xi^3} (x)=(\sqrt[3]{x})'f_\xi (x)$

$f_{\xi^3} (x)=\dfrac{f_\xi (x)}{3\sqrt{x^2}}$

Правильно ли?

-- 26.10.2015, 02:30 --

$f_{\xi^3}(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ \frac{2}{3\sqrt{x^2}}e^{-2x},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$,

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 02:10 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Don-Don в сообщении #1066978 писал(а):
$f_{\xi^3} (x)=\dfrac{f_\xi (x)}{3\sqrt{x^2}}$

Что за печаль с корнем? Да и вообще неправда.
Don-Don в сообщении #1066978 писал(а):
$f_{\xi^3}(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant0;\\ \frac{2}{3\sqrt{x^2}}e^{-2x},&x>0.\end{cases}\;\;\;\;$

Неверно, и что характерно, оно Вам и особо и не надо.
Don-Don в сообщении #1066966 писал(а):
$F(x)=$ $\\ 1-e^{-2x},x<1\\ \int_1^{\infty}e^{-2x^3}dx,x>1$

Вообще ерунда.
У меня есть опасение, что если Вы будете пользоваться готовыми рецептами без понимания, то так ничего и не поймете.

Такие задачи решаются всегда стандартно: функции распределения ищутся по определению. Выписываете определение функции распределения Вашей случайной величины $\eta=\max(\xi,\xi^3)$ и тщательно с ним разбираетесь. Раз уж Вы взяли в руки учебник, то даже пример там наверняка найдется, разумеется, не в точности такой же, но такой, который может помочь. Но можно поизобретать велосипед и самостоятельно.

Определение-то как будет выглядеть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 03:03 


04/03/14
194
А что посоветуете почитать на данную тему?

$F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x )$

C утра еще зайду, посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 03:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вот им и пользуйтесь. Только для вашей конкретной случайной величины. Прямо определение и начинаете выписывать - для нее. Что почитать - не подскажу, это слишком часто встречающийся тип задач. Думаю, у Черновой должно быть, посмотрите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 12:13 


04/03/14
194
$F(x)=\begin{cases}
F_\xi(x)&\text{если $x>1$;}\\
F_{\xi^3(x)},&\text{если $x\le 1$;}\\

\end{cases}$

$F(x)=\left\{\begin{matrix}
1-e^{-2\sqrt[3]{x}}&,\; x\in [0;1], \\
1-e^{-2x}&,\; x >1.\\
0. &,\;x<0
\end{matrix}\right.$

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 12:39 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
перепутаны случаи <1 и >1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гамма-распределение.
Сообщение26.10.2015, 12:53 


04/03/14
194
iancaple в сообщении #1067060 писал(а):
перепутаны случаи <1 и >1.

Точно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group