Группа симплициальных гомологий и число компонент связности

[maximk]

Докажите, что для любого симплициального комплекса $K$ группа $H_0(K)$ есть свободная абелева группа, ранг которой совпадает с числом компонент связности комплекса $K$.
Приводится решение этой задачи.
Поскольку симплексов отрицательной размерности нет, группа циклов $A_0(K)$ совпадает со всей группой цепей. При этом любые две вершины, соединенные ребром, дают гомологичные циклы. Выбрав в каждой компоненте связности по одной вершине, мы получим систему свободных образующих группы $H_0$.
1. А что если мы не будем в одной из компонент связности брать вершину?
2. Почему в любой такой компоненте всегда существует вершина?
3. Непонятно, почему после этого появляется система свободных образующих.
4. Чем обоснована сама возможность выбора вершин и что под этим понимается?

[Xaositect]

maximk в сообщении #1066034 писал(а):

1. А что если мы не будем в одной из компонент связности брать вершину?

Тогда мы не получим всю $H_0$. Тут просто забыли сказать, что любые две вершины из различных компонент связности негомологичны (что тоже очевидно, потому что любая цепь лежат внутри какой-то компоненты связности). Это, наверное, где-то выше написано, что несвязное объединение двух комплексов соответствует прямой сумме групп гомологий.

maximk в сообщении #1066034 писал(а):

2. Почему в любой такой компоненте всегда существует вершина?

Потому что компонента связности симплициального комплекса - симплициальный комплекс. Поэтому в ней обязательно есть вершины и любые две вершины соединены 1-цепью.

maximk в сообщении #1066034 писал(а):

3. Непонятно, почему после этого появляется система свободных образующих.

Любая линейная комбинация вершин гомологична линейной комбинации выбранных вершин. Любая линейная комбинация выбранных вершин не гомологична 0, потому что они из разных компонент связности.

maximk в сообщении #1066034 писал(а):

4. Чем обоснована сама возможность выбора вершин и что под этим понимается?

Комплексы могут же быть с бесконечным количеством вершин? Тогда аксиомой выбора. Понимается, что если у нас есть множество наборов вершин, то мы можем из каждого взять по одному.

[maximk]

Xaositect в сообщении #1066084 писал(а):

maximk в сообщении #1066034 писал(а):

4. Чем обоснована сама возможность выбора вершин и что под этим понимается?

Комплексы могут же быть с бесконечным количеством вершин? Тогда аксиомой выбора. Понимается, что если у нас есть множество наборов вершин, то мы можем из каждого взять по одному.

Спасибо. А если комплексы с конечным числом вершин?