Система с параметром.

[integral2009]

Пока что мало идей есть, подскажите, пожалуйста!

При каких $a$ будет два решения

$\left\{ \begin{array}{rcl} |y|+|y-x|\le a-|x-1|\\ (y-4)(y+3)\ge (4-x)(3+x) \\ \end{array} \right.$

Пока что заметил, что если обозначить $f(x)=(x-4)(3+x)$, то второе неравенство можно переписать в виде $f(x)+f(y)\ge 0$

Первое неравенство можно рассмотреть по случаям. Но их как-то много слишком. Есть идея это все реализовать графически, но это тоже проблемно, на мой взгляд. Наверняка есть какая-то хорошая идея, чтобы упростить всю деятельность в данном случае или нет такой?

При $y\ge 0$ и $y\ge x$ рассматривал, получается вот такая штука



-- Ср окт 21, 2015 14:25:17 --

Только сейчас сообразил, что второе неравенство является внешностью круга $(x-0,5)^2+(y-0,5)^2=\dfrac{49}{2}$

Теперь основные вопросы по первому неравенству. Как с ним быть все-таки?

[Pphantom]

Если бы вместо второго неравенства было бы уравнение, какую кривую бы оно задавало? Это можно выяснить и привести неравенство к соответствующему виду. После этого количество случаев, которые надо рассматривать для первого неравенства, существенно сократится. Можно будет сделать также замену переменных (когда преобразуете второе неравенство, будет понятно, какую именно), что дополнительно упростит задачу.

[integral2009]

Pphantom в сообщении #1065005 писал(а):

Если бы вместо второго неравенства было бы уравнение, какую кривую бы оно задавало? Это можно выяснить и привести неравенство к соответствующему виду. После этого количество случаев, которые надо рассматривать для первого неравенства, существенно сократится. Можно будет сделать также замену переменных (когда преобразуете второе неравенство, будет понятно, какую именно), что дополнительно упростит задачу.

Спасибо!

$(x-0,5)^2+(y-0,5)^2=\dfrac{49}{2}$

Делаем замену $x=z+0,5, y=t+0,5$

$z^2+t^2=\dfrac{49}{2}$

Первое уравнение преобразуем в соответствии с заменой:

$|t+0,5|+|z-0,5|+|t-z|\le a$

Пока что так. Но а как дальше?

[provincialka]

А задача какая? Решить для любого $a$? Или что-то другое?

Про первое не совсем ясно... То есть ясно, но неприятно считать. Графическое решение соотв. уравнения дает некий шестиугольник (размер зависит от $a$) И что-то я не вижу, чтобы форма шестиугольника менялась вне круга!

[Алексей К.]

Нарисовать всё и смотреть!
И я бы не спешил делать замены.
Окружности и три прямые --- как они друг на друге расположены?
И что нам нужно --- внутренность окружности или внешность?

[integral2009]

provincialka в сообщении #1065007 писал(а):

А задача какая? Решить для любого $a$? Или что-то другое?

Про первое не совсем ясно... То есть ясно, но неприятно считать. Графическое решение соотв. уравнения дает некий шестиугольник (размер зависит от $a$) И что-то я не вижу, чтобы форма шестиугольника менялась вне круга!

Извините, условие такое "При каких $a$ будет два решения"

[provincialka]

Ну! Это же совсем другое дело! (пока убегаю, не могу помочь)

[integral2009]

Алексей К. в сообщении #1065008 писал(а):

Нарисовать всё и смотреть!
И я бы не спешил делать замены.
Окружности и три прямые --- как они друг на друге расположены?
И что нам нужно --- внутренность окружности или внешность?

Внешность. Пока что не очевидно как именно расположены. Правильно ли я понимаю, что сейчас важны только угловые коэф прямых?

[Алексей К.]

integral2009 в сообщении #1065011 писал(а):

Пока что не очевидно как именно расположены. Правильно ли я понимаю, что сейчас важны только угловые коэф прямых?

В первую очередь меня бы интересовали прямые $y=0$, $y-x=0$ и $x-1=0$. Их расположение относительно окружности вполне очевидно. Они разбивают плоскость на 7 кусков, один из которых лежит целиком внутри окружности, и потому нам не интересен: ни одна точка из этого куска не удовлетворит второе неравенство системы.

В остальных кусках надо ковыряться отдельно. В каждом из них первое неравенство примет свой простой вид.
Хотя бы с одним для начала разобраться --- что это за понт такой, что вот ровно две точечки $(x,y)$, не больше и не меньше, дают решение?
Думаю, в каждом куске надо выписать те значения $a$, которые дают 0-1-2 решения. Игнорировать те, которые дают $3\,-\,\infty$.

Наверное, в выходные не поленюсь, додумаю. Надеюсь, пока чушь не спорол --- вроде стандартно-тупой подход к делу.

-- 21 окт 2015, 23:53:37 --

Ну и может стоит подождать убежавшую provincialka: она живее меня, может ей что-то поумнее уже пришло в голову... пока бегала, или сразу

[provincialka]

Странно! Я, вроде, сюда картинку выкладывала? Удалили/удалилась что ли? (Начинаются зловещие провалы в памяти?)

(А программа-то на работе осталась...) В общем, линия уровня $a=\operatorname{const}$ имеет вид шестиугольника с попарно параллельными сторонами. Нужно найти момент, когда этот шестиугольник первый раз "выглядывает" двумя вершинами из круга, заданного вторым неравенством (того, где неравенство не выполняется). Но как показать это алгебраически, без "читерства"... Надо еще подумать.

-- 21.10.2015, 23:40 --

Рассмотрим функцию $f(x,y)=|y|+|y-x|+|x-1|$. Первое неравенство имеет вид $f(x,y)\leqslant a$. Линия уровня $f(x,y)=a$ имеет вид шестиугольника (ну, по крайней мере, точно многоугольника). Можно найти радиус того круга с центром $(\frac12;\frac12)$, в котором полностью умещается этот многоугольник. То есть все его вершины. Решением задачи будет то $a$, для которого этот радиус как раз равен $\frac{7}{\sqrt{2}}$. Только вот как это аккуратно обосновать!

[redicka]

a=7

13<a<15

[provincialka]

redicka
Это чего? 1) Ответ на учебную задачу 2) формулы не оформлены
Итого два нарушения.

-- 22.10.2015, 01:17 --

[Toucan]

redicka, замечание за неиспользование $\TeX$ при наборе формул и за размещение ответа учебной задачи (правильного или нет - неважно).