2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональность корней. Задача с параметром.
Сообщение21.10.2015, 12:19 


25/10/09
832
Здравствуйте! Есть вопрос по задаче.

При каких целых значениях $n$ корни уравнения $nx^2+(2n-1)x+n-2=0$ рациональны?

При $n=0$ корень будет рациональным. При $n\ne 0$

$x=\dfrac{1-2n\pm \sqrt{(2n-1)^2-4(n-2)}}{2n}$

Для этого нужно, чтобы $ \sqrt{(2n-1)^2-4n(n-2)}$ был целым числом

$\sqrt{(2n-1)^2-4n(n-2)}=k$

$4n^2-4n+1-4n^2+8n=k^2$

$4n+1=k^2$

А как тут честно искать решения в целых числах? Сразу видно два решения: $n=2, k=\pm 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональность корней. Задача с параметром.
Сообщение21.10.2015, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
integral2009 в сообщении #1064989 писал(а):
$4n+1=k^2$
А как тут честно искать решения? Сразу видно два решения: $n=2, k=\pm 3$

В лоб: $n=(k^2-1)/4$ (указать $k$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональность корней. Задача с параметром.
Сообщение21.10.2015, 12:49 


25/10/09
832
Спасибо! А как его указать? Перебором?

Я вот думал насчет того -- на что оканчивается квадрат целого числа, ну итп, но это не привело к успеху. Пробовал рассматривать числитель написанной вами дроби как разность квадратов, расписав по формуле $(k-1)(k+1)$, тоже не помогло. А как дальше, если в лоб, но не перебор же значений вы имеете ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональность корней. Задача с параметром.
Сообщение21.10.2015, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
integral2009 в сообщении #1064998 писал(а):
Спасибо! А как его указать? Перебором?
Переберите первые десять натуральных чисел $k$, найдите закономерность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональность корней. Задача с параметром.
Сообщение21.10.2015, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Вообще-то сразу видно, что $k$ -- нечетное! Впрочем, для общего образования не вредно и по-перебирать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональность корней. Задача с параметром.
Сообщение21.10.2015, 13:21 


25/10/09
832
Все понял, сильно тупанул, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group