2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 08:02 
Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, сколько стационарных точек может быть у квадратичной функции нескольких переменных, при условии, что она не выпукла и не вогнута? И чем обосновывается их количество?

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 08:20 
Аватара пользователя
Lenar0809, сколько стационарных точек у квадратичной формы $(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2?$

-- Ср окт 21, 2015 12:25:27 --

Ах, да - она выпукла. Ну тогда у $(x_1+\ldots+x_k)^2-(x_{k+1}+\ldots+x_n)^2?$

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 08:46 
Lenar0809 в сообщении #1064948 писал(а):
сколько стационарных точек может быть у квадратичной функции нескольких переменных,

Сколько решений может иметь однородная система линейных уравнений?

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 08:56 
А если функция содержит элементы типа $x^2y^2$?

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 09:13 
Аватара пользователя
Lenar0809 в сообщении #1064956 писал(а):
А если функция содержит элементы типа $x^2y^2$?
То это не квадратичная функция. Сформулируйте точно, какие именно функции Вы рассматриваете.

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 09:27 
Извиняюсь. Тогда получается полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 09:56 
Аватара пользователя
Lenar0809 в сообщении #1064965 писал(а):
полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.

не обязательно является квадратичной формой. Хорошо бы сначала четко понять, чего хочется, и только после этого вопрошать.

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 10:16 
Аватара пользователя
Lenar0809 в сообщении #1064965 писал(а):
Извиняюсь. Тогда получается полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.
Имеется в виду степень $2$ по каждой переменной? Тогда может быть бесконечное число стационарных точек ($x^2 y^2$), а если их конечно, то количество может быть экспоненциальным по числу переменных ($(x_1^2 - 1)(x_2^2 - 1)\dots (x_n^2 - 1)$). Экспоненциальное число стационарных точек - это типичный случай, это известная проблема в оптимизации, что как только мы вылезаем из выпуклых функций, оптимизация становится NP-трудной.

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 18:45 
К примеру полином: $f(x_1,x_2)=a_1x_1^2+a_2x_2^2-a_3x_1^2x_2^2+a_4x_1^2x_2+a_5x_1x_2^2+a_6x_1x_2+a_7x_1+a_8x_2+1$.Как определить, сколько у него будет стационарных точек?

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 19:48 
Аватара пользователя
Тут теория Морса случаем ни коим боком?

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 21:16 
Аватара пользователя
мат-ламер в сообщении #1065190 писал(а):
Тут теория Морса случаем ни коим боком?
Близко, но все-таки не то.

Lenar0809 в сообщении #1065176 писал(а):
Как определить, сколько у него будет стационарных точек?
Надо решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, просто так не получится.
Если надо автоматически это находить, то можно найти частные производные $\operatorname{grad} f = (p, q)$, построить базис Гребнера идеала $I = \langle p, q \rangle$, с помощью него проверить, что алгебра $A = \mathbb{C}[x,y]/I$ конечномерна и построить структурные константы этой алгебры, найти радикал этой алгебры и размерность $A/\operatorname{rad} A$, это и будет количество корней. Какого-то более простого пути я не вижу.

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 21:23 
Если решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, то получается система из двух уравнений второй степени. И количество корней - 2 ? Или не обязательно?

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 21:27 
Аватара пользователя
Lenar0809 в сообщении #1065222 писал(а):
Если решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, то получается система из двух уравнений второй степени.
Третьей. У Вас там $x_1^2 x_2^2$ есть. Два уравнения третьей степени от двух переменных в типичном случае имеют 9 корней.

 
 
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 21:38 
Спасибо. Просто поясню, у меня как раз стоит задача оптимизации функции, в которой присутствуют приведённые полиномы. А вообще, количество нелинейных переменных - 8. Ну и похоже оценивать количество стационарных точек бесполезно. Без динамического программирования не обойтись :?

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group