2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 08:02 


18/10/15
32
Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, сколько стационарных точек может быть у квадратичной функции нескольких переменных, при условии, что она не выпукла и не вогнута? И чем обосновывается их количество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 08:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5730
Новосибирск
Lenar0809, сколько стационарных точек у квадратичной формы $(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2?$

-- Ср окт 21, 2015 12:25:27 --

Ах, да - она выпукла. Ну тогда у $(x_1+\ldots+x_k)^2-(x_{k+1}+\ldots+x_n)^2?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 08:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
Lenar0809 в сообщении #1064948 писал(а):
сколько стационарных точек может быть у квадратичной функции нескольких переменных,

Сколько решений может иметь однородная система линейных уравнений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 08:56 


18/10/15
32
А если функция содержит элементы типа $x^2y^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 09:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Lenar0809 в сообщении #1064956 писал(а):
А если функция содержит элементы типа $x^2y^2$?
То это не квадратичная функция. Сформулируйте точно, какие именно функции Вы рассматриваете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 09:27 


18/10/15
32
Извиняюсь. Тогда получается полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Lenar0809 в сообщении #1064965 писал(а):
полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.

не обязательно является квадратичной формой. Хорошо бы сначала четко понять, чего хочется, и только после этого вопрошать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Lenar0809 в сообщении #1064965 писал(а):
Извиняюсь. Тогда получается полином от нескольких переменных с максимальной степенью 2.
Имеется в виду степень $2$ по каждой переменной? Тогда может быть бесконечное число стационарных точек ($x^2 y^2$), а если их конечно, то количество может быть экспоненциальным по числу переменных ($(x_1^2 - 1)(x_2^2 - 1)\dots (x_n^2 - 1)$). Экспоненциальное число стационарных точек - это типичный случай, это известная проблема в оптимизации, что как только мы вылезаем из выпуклых функций, оптимизация становится NP-трудной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 18:45 


18/10/15
32
К примеру полином: $f(x_1,x_2)=a_1x_1^2+a_2x_2^2-a_3x_1^2x_2^2+a_4x_1^2x_2+a_5x_1x_2^2+a_6x_1x_2+a_7x_1+a_8x_2+1$.Как определить, сколько у него будет стационарных точек?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 19:48 
Заслуженный участник


30/01/09
5056
Тут теория Морса случаем ни коим боком?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
мат-ламер в сообщении #1065190 писал(а):
Тут теория Морса случаем ни коим боком?
Близко, но все-таки не то.

Lenar0809 в сообщении #1065176 писал(а):
Как определить, сколько у него будет стационарных точек?
Надо решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, просто так не получится.
Если надо автоматически это находить, то можно найти частные производные $\operatorname{grad} f = (p, q)$, построить базис Гребнера идеала $I = \langle p, q \rangle$, с помощью него проверить, что алгебра $A = \mathbb{C}[x,y]/I$ конечномерна и построить структурные константы этой алгебры, найти радикал этой алгебры и размерность $A/\operatorname{rad} A$, это и будет количество корней. Какого-то более простого пути я не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 21:23 


18/10/15
32
Если решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, то получается система из двух уравнений второй степени. И количество корней - 2 ? Или не обязательно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Lenar0809 в сообщении #1065222 писал(а):
Если решать уравнение $\operatorname{grad} f = 0$, то получается система из двух уравнений второй степени.
Третьей. У Вас там $x_1^2 x_2^2$ есть. Два уравнения третьей степени от двух переменных в типичном случае имеют 9 корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Количество стационарных точек квадратичной функции
Сообщение21.10.2015, 21:38 


18/10/15
32
Спасибо. Просто поясню, у меня как раз стоит задача оптимизации функции, в которой присутствуют приведённые полиномы. А вообще, количество нелинейных переменных - 8. Ну и похоже оценивать количество стационарных точек бесполезно. Без динамического программирования не обойтись :?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group