Киральный лагранжиан, глобальные аномалии и мезоны

[Name XXX]

Недавно я узнал, что в киральной эффективной теории (далее - КЭТ) поля КХД существуют топологические решения (т.н. скирмионы) с барионным числом единица и спином $\frac{1}{2}$, и меня заинтересовало, как вообще в теории мезонов сохраняется такое понятие, как барионное число; например, как вытянуть из КЭТ аномальный закон сохранения барионного тока. Как я понимаю, если в исходной фундаментальной теории, КХД, есть глобальные симметрии, которые аномально нарушаются, то есть проблема с воспроизведением этих аномалий в КЭТ, в которой кварковые билинейные формы заменены конденсатами и выделены матрицы (псевдо)голдстоуновских бозонов.

Ответ, который я не до конца понял, заключается в следующем. Пусть барионная симметрия исходного лагранжиана становится локальной; иными словами, вводится фоновое векторное калибровочное поле, которое взаимодействует с барионным током КХД. На языке голдстоуновских бозонов - псевдоскалярных мезонов, - это означает, что

$$ U \to e^{iQ_{B}\epsilon (x)}Qe^{-iQ_{B}\epsilon (x)}, \quad Q_{B} = \frac{1}{N_{c}}\text{diag}(1, 1, 1), \qquad (1) $$

и

$$ \partial_{\mu} U \to D_{\mu}U, \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} - i QV_{\mu} \qquad (2) $$

При этом возможность такого расширения диктуется выполнимостью требования отсутствия калибровочных аномалий группы Стандартной модели в теории после введения поля $V$. Иными словами, расширение $(2)$ является (в литературе утверждают даже, что должно являться) непротиворечивым, если можно подобрать такие локальные контрчлены $\Gamma_{ct}[U, A_{SM}, V]$, чтобы действие киральной эффективной теории поля не содержало калибровочные аномалии токов исходной симметрии, $SU_{c}(3)\times SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)$. При этом закон сохранения локального $V$-тока должен автоматически иметь аномалию.

"Выключим" на время все калибровочные взаимодействия Стандартной модели. В КЭТ поля вся информация об аномалиях содержится в члене Весса-Зумино:

$$ \Gamma_{WZ} = C\int d^{5}x\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[L_{i}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m}\right], \quad L_{i} = U\partial_{i}U^{-1}, \quad C = \frac{iN_{c}}{240 \pi^{2}} \qquad (3) $$

При введении локального взаимодействия с полем $V$ калибровочно-инвариантная версия $(3)$ имеет вид

$$ \tilde \Gamma_{WZ} = \Gamma_{WZ} - \int d^{4}xV^{\mu}J^{B}_{\mu} + $$ $$ +10C\int d^{4}x \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\partial_{\mu}V_{\nu})V_{\alpha}\text{Tr}[Q_{B}^{2}(\partial_{\beta}U)U^{-1} + Q_{B}^{2}U^{-1}\partial_{\beta}U + Q_{B}UQ_{B}U^{-1}(\partial_{\beta}U)U^{-1}], $$

где

$$ J_{B}^{\mu} = 5C\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}[QR^{\nu}R^{\alpha}R^{\beta} + QL^{\nu}L^{\alpha}L^{\beta}] = \frac{10C}{N_{c}}\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}[L^{\nu}L^{\alpha}L^{\beta}], \quad R_{\mu} = (\partial_{\mu}U)U^{-1} \qquad (4) $$

- кандидат на роль аномальной части барионного тока. Действительно, при включении $SU_{L}(2)$ взаимодействия

$$ J^{B}_{\mu} \to \frac{10C}{N_{c}}\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}[\tilde{L}^{\nu}\tilde{L}^{\alpha}\tilde{L}^{\beta} + \frac{3i}{2}F^{\nu \alpha}\tilde{L}^{\beta}], \quad \tilde{L}_{\alpha} = UD^{\text{SU}_{L}\text{(2)}}_{\mu}U^{-1}, $$

и

$$ \partial_{\mu}J^{\mu}_{B} = -\frac{3}{16 \pi^{2}}\text{Tr}[F^{\text{SU}_{L}\text{(2)}} \wedge F^{\text{SU}_{L}\text{(2)}}] $$

Каким же физическим состояниям КХД соответствуют поля $V$? В литературе пишут, что они соответствуют векторным мезонам.

Мне во всем этом непонятны следующие аспекты.

1) Векторные мезоны являются массивными, потому при интерпретации $V$ как какого-то векторного мезона в действие эффективной теории нужно вводить массовый член. А это сразу нарушает локальный закон сохранения барионного тока. Как разрешается эта проблема?

2) Обязана ли вообще присутствовать информация о барионном числе в КЭТ?

3) Наконец, можно ли заведомо утверждать, что при расширении глобальной киральной подгруппы КХД до киральной удастся построить непротиворечивую теорию (грубо говоря, без аномалий)?