Геометрическая задача на построение.

[ihq.pl]

Во время обсуждения в этой теме понял, что задачу можно свести к более интересной задаче на построение.

Даны ортогональная система координат $Oxyz$ и плоскость экрана. Про плоскость экрана известно только то, что она не проходит через начало координат $O$ и пересекается с плоскостью $Oxy$. В плоскости $Oxy$ находится точечный источник света, причем так, что тень от оси $Oz$ падает на экран. Вопрос: как по наблюдениям за тенью точки $p$ построить на экране линию, которая параллельна линии пересечения плоскости $Oxy$ с плоскостью экрана? Точку $p$ разрешается последовательно перемещать вдоль осей системы $Oxyz$, причем, должно выполняться условие $z_p \ge z_0 > 0$. Координаты $x_0, y_0, z_0$ начального положения точки $p$ неизвестны, известны лишь величины сдвигов вдоль осей. Также разрешено поворачивать точку вокруг оси $Oz$ на любой угол.

[Munin]

ihq.pl в сообщении #1064714 писал(а):

Вопрос: как по наблюдениям за тенью точки $p$ построить на экране линию, которая параллельна линии пересечения плоскости $Oxy$ с плоскостью экрана?

Мой метод и это позволяет.

[ihq.pl]

Для удобства перенес сюда некоторые сообщения

Munin в сообщении #1064732 писал(а):

Я думаю вот в каком направлении. Надо заставить точку $P$ сходить по вершинам куба. Тогда в проекции получится не куб, а "искажённый куб", со сходящимися сторонами. Потом точки схождения его сторон (возможно, лежащие очень далеко) покажут, где плоскость экрана пересекается с линиями, выходящими из точки $F,$ и параллельными рёбрам исходного куба. Поскольку мы знаем ещё и углы между этими линиями, то точка $F$ после этого строится в пространстве однозначно, и плоскость $Oxy$ тоже.

Разве образами граней куба будут не параллелепипеды?

[Munin]

При центральной проекции - нет. А источник света-то у вас точечный.
(Кстати, не параллелепипеды, а параллелограммы.)

-- 21.10.2015 13:51:42 --

Но если решать задачу на практике, то проблема возникнет в том месте, что отличие образа грани от параллелограмма может быть очень незначительным. Это приведёт к большой погрешности дальнейших построений (если они вообще сойдутся). Поэтому, смещения точки $P$ должны быть сделаны как можно бо́льшими.

[ihq.pl]

Munin в сообщении #1065014 писал(а):

При центральной проекции - нет. А источник света-то у вас точечный.
(Кстати, не параллелепипеды, а параллелограммы.)

Смешалось в голове с "искаженным кубом" и получился параллелепипед

Кажется начинает доходить: плоскости, образованные двумя параллельными рёбрами куба и точкой $F$ пересекаются по прямой $a$, которая проходит через $F$ параллельно ребрам. Прямая $a$ может пересекать плоскость экрана. И тогда, конечно, образы ребер сходятся, причем, к точке, где линия $a$ пересекает плоскось экрана. И точка схода, если я правильно понял, совсем не обязана лежать за пределами досягаемости. Например, если оба ребра перпендикулярны к экрану, то эта точка будет где-то рядом. Но ведь с этим можно работать дальше, и это супер! Огромное спасибо!

[Munin]

ihq.pl в сообщении #1065082 писал(а):

И точка схода, если я правильно понял, совсем не обязана лежать за пределами досягаемости.

Если она за пределами досягаемости, то её можно рассчитать. Зачем её обязательно строить?

[ihq.pl]

Munin в сообщении #1065087 писал(а):

Если она за пределами досягаемости, то её можно рассчитать. Зачем её обязательно строить?

Да. Задача решена! В общем, если экран снабдить системой координат, неважно какой и с каким центром, то по измерениям тени одной точки можно точно восстановить конфигурацию всей системы... Ваше замечание решило исход дела, еще раз большое спасибо!