Подгруппы прямого произведения

[Sinoid]

Здравствуйте! Попалась задача, указание к которой наоборот усложняет решение. Я склоняюсь к тому, что ошибка все-таки где-то в моем решении без использования этого указания, да к тому же в моем решении не используется часть условия. Скорее всего, косяк у меня, а найти не могу. Помогите, пожалуйста. Итак, задача.
Пусть порядки групп $G$ и $H$ взаимно просты. Докажите, что каждая подгруппа группы $G\times H$ имеет вид $G_1\times H_1$, где $G_1<G$, $H_1<H$. Отношение $<$ значит "быть подгруппой".
Решение. Вот указание: Проверьте, что если $(g,h) \in G\times H$, то найдутся такие $k$ и $l$, что $(g,h)^k=(g,1)$, $(g,h)^l=(1,h)$.
Проверяю. В том сборнике знак $|..|$ обозначает порядок группы или элемента. Итак, беру этот элемент $(g,\,h) \in G\times H$. Тогда $|g|$ делит $|G|$, $|h|$ делит $|H|$. Но $(|G|,\,|H|)=1$, поэтому $(|g|,\,|h|)=1$. Значит, существуют такие целые $r$ и $s$, что $r|g|+s|h|=1$, откуда $s|h|=1-r|g|$. Значит, $(g,h)^{s|h|}=(g^{1-r|g|},\,h^{s|h|}=(g,\,1).$ Значит, если $(g,\,h)\in G_1\times H_1$, то и $(g,\,1) \in G_1\times H_1$. Точно также докажу, что $(1,\,h) \in G_1\times H_1$. Пусть теперь $G_1\times H_1$ - некоторое подгруппа $G\times H$, и $(g_1,\,h_1),\,(g_2,h_2) \in G_1\times H_1,$ тогда $g_1,\,g_2 \in G_1,$ $h_1,\,h_2 \in H_1$. Применяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получу, что $(g_1,\,1),\,(g_2,\,1),\,(1,\,h_1),\,(1,\,h_2) \in G_1\times H_1.$ Т.к. $\in G_1\times H_1$ - подгруппа, то в нее входит $(g_1g_2,\,1),$ $(1,\,h_1h_2),$ откуда $g_1g_2 \in G_1,$ $h_1h_2 \in H_1.$ С другой стороны, например, $(g_1^{-1},\,h_1^{-1}) \in G_1\times H_1,$ отсюда $g_1^{-1} \in G_1,$ $h_1^{-1} \in H_1.$ Этим, как будто можно считать утверждение доказанным, да вот беда: непонятно, зачем вообще переходить к элементам с единицами? ИМХО, утверждение прекрасно доказывается сразу, только при этом непонятно, как использовать указание к задаче, а взаимная простота порядков групп вообще не применяется. Или я где-то ошибся?

[provincialka]

Или я что-то не понимаю... Или вы доказываете обратное утверждение...
Надо взять группу $D<G\times H$ и про неё доказать, что существуют такие $G_1,H_1$, что $D=G_1\times H_1$. А вы сразу рассматриваете такое произведение ... И что тогда еще доказывать?

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1064527 писал(а):

что существуют такие $G_1,H_1$

Существование таких подмножеств следует из определения прямого произведения. Мне же нужно доказать, что они подгруппы, что я и делаю.

[provincialka]

Sinoid в сообщении #1064553 писал(а):

Существование таких подмножеств следует из определения прямого произведения.

Почему? Возьмем группы с не взаимнопростыми порядками. Например, $G=H=\{1,a\},a^2=1$. Тогда диагональ $\{(1;1),(a;a)\}$ образует подгруппу (2-го порядка) в $G^2$, но не распадается в прямое произведение.

[Sinoid]

Я тут думал и вот что надумал. С вот этим вот

provincialka в сообщении #1064527 писал(а):

Пусть теперь $G_1\times H_1$ - некоторое подгруппа $G\times H$

я, как и сказала provincialka, поторопился. А надо было вот как. Возьму подгруппу

provincialka в сообщении #1064527 писал(а):

$D<G\times H$

Тогда всякий элемент $D$, как элемент группы $G \times H,$ имеет вид $(g,\,h),$ где $g \in G,$ $h \in H.$
Пусть $G_1$ - множество всех первых компонентов $D,$ $H_1$ - множество всех вторых компонентов $D,$ тогда $G_1\subseteq G,$ $H_1\subseteq H.$ Без использования чисел $k$ и $l$ я смогу лишь доказать, что $G_1$ - подмножество $G,$ а $H_1$ - подмножество $H.$ А чтобы доказать, что $D=G_1 \times H_1,$ нужно еще доказать, что если $(g_1,\,h_1) \in D$ и $(g_2,\,h_2) \in D$, то, например, $(g_1,\,h_2) \in D.$ Именно для этого и нужны числа $k$ и $l$. Верно?

[provincialka]

Ну да. И кое-что для этого уже сделано!

Sinoid в сообщении #1064520 писал(а):

Значит, если $(g,\,h)\in G_1\times H_1$, то и $(g,\,1) \in G_1\times H_1$.

Только замените $G_1\times H_1$ на $D$.
И учтите еще:

Цитата:

Подмножество $H$ группы $G$ является ее подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) $H$ содержит произведение любых двух элементов из $H$, (2) $H$ содержит вместе со всяким своим элементом $h$ обратный к нему элемент $h^{-1}$. В случае конечных и, вообще, периодич. групп проверка условия (2) является излишней.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Прошу прощения за мое исчезновение, просто подул сильный ветер и потух свет, а позавчера сделал Интернет в телефоне, так еще толком не приспособился. Хотя, в принципе, тема и закончена

provincialka в сообщении #1064781 писал(а):

Цитата:

Подмножество $H$ группы $G$ является ее подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) $H$ содержит произведение любых двух элементов из $H$, (2) $H$ содержит вместе со всяким своим элементом $h$ обратный к нему элемент $h^{-1}$. В случае конечных и, вообще, периодич. групп проверка условия (2) является излишней.

Так я потому и писал вот это

Sinoid в сообщении #1064520 писал(а):

Т.к. $\in G_1\times H_1$ - подгруппа, то в нее входит $(g_1g_2,\,1),$ $(1,\,h_1h_2),$ откуда $g_1g_2 \in G_1,$ $h_1h_2 \in H_1.$ С другой стороны, например, $(g_1^{-1},\,h_1^{-1}) \in G_1\times H_1,$

только теперь, понятно, нужно $\in G_1\times H_1$ заменить на $D$.

[Sinoid]

Забыл спросить, так, в порядке тренировки. Вот если бы я захотел записать вот это

Sinoid в сообщении #1064775 писал(а):

Пусть $G_1$ - множество всех первых компонентов $D,$

в виде формулы и написал бы, что $G_{1}=\{g\in G\mid\exists h((h\in H)\wedge((g,\, h)\in D)\}$, это было бы верно?