2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подгруппы прямого произведения
Сообщение19.10.2015, 21:52 


03/06/12
2071
Здравствуйте! Попалась задача, указание к которой наоборот усложняет решение. Я склоняюсь к тому, что ошибка все-таки где-то в моем решении без использования этого указания, да к тому же в моем решении не используется часть условия. Скорее всего, косяк у меня, а найти не могу. Помогите, пожалуйста. Итак, задача.
Пусть порядки групп $G$ и $H$ взаимно просты. Докажите, что каждая подгруппа группы $G\times H$ имеет вид $G_1\times H_1$, где $G_1<G$, $H_1<H$. Отношение $<$ значит "быть подгруппой".
Решение. Вот указание: Проверьте, что если $(g,h) \in G\times H$, то найдутся такие $k$ и $l$, что $(g,h)^k=(g,1)$, $(g,h)^l=(1,h)$.
Проверяю. В том сборнике знак $|..|$ обозначает порядок группы или элемента. Итак, беру этот элемент $(g,\,h) \in G\times H$. Тогда $|g|$ делит $|G|$, $|h|$ делит $|H|$. Но $(|G|,\,|H|)=1$, поэтому $(|g|,\,|h|)=1$. Значит, существуют такие целые $r$ и $s$, что $r|g|+s|h|=1$, откуда $s|h|=1-r|g|$. Значит, $(g,h)^{s|h|}=(g^{1-r|g|},\,h^{s|h|}=(g,\,1).$ Значит, если $(g,\,h)\in G_1\times H_1$, то и $(g,\,1) \in G_1\times H_1$. Точно также докажу, что $(1,\,h) \in G_1\times H_1$. Пусть теперь $G_1\times H_1$ - некоторое подгруппа $G\times H$, и $(g_1,\,h_1),\,(g_2,h_2) \in G_1\times H_1,$ тогда $g_1,\,g_2 \in G_1,$ $h_1,\,h_2 \in H_1$. Применяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получу, что $(g_1,\,1),\,(g_2,\,1),\,(1,\,h_1),\,(1,\,h_2) \in G_1\times H_1.$ Т.к. $\in G_1\times H_1$ - подгруппа, то в нее входит $(g_1g_2,\,1),$ $(1,\,h_1h_2),$ откуда $g_1g_2 \in G_1,$ $h_1h_2 \in H_1.$ С другой стороны, например, $(g_1^{-1},\,h_1^{-1}) \in G_1\times H_1,$ отсюда $g_1^{-1} \in G_1,$ $h_1^{-1} \in H_1.$ Этим, как будто можно считать утверждение доказанным, да вот беда: непонятно, зачем вообще переходить к элементам с единицами? ИМХО, утверждение прекрасно доказывается сразу, только при этом непонятно, как использовать указание к задаче, а взаимная простота порядков групп вообще не применяется. Или я где-то ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы прямого произведения
Сообщение19.10.2015, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Или я что-то не понимаю... Или вы доказываете обратное утверждение...
Надо взять группу $D<G\times H$ и про неё доказать, что существуют такие $G_1,H_1$, что $D=G_1\times H_1$. А вы сразу рассматриваете такое произведение ... И что тогда еще доказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы прямого произведения
Сообщение19.10.2015, 23:45 


03/06/12
2071
provincialka в сообщении #1064527 писал(а):
что существуют такие $G_1,H_1$

Существование таких подмножеств следует из определения прямого произведения. Мне же нужно доказать, что они подгруппы, что я и делаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы прямого произведения
Сообщение20.10.2015, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Sinoid в сообщении #1064553 писал(а):
Существование таких подмножеств следует из определения прямого произведения.

Почему? Возьмем группы с не взаимнопростыми порядками. Например, $G=H=\{1,a\},a^2=1$. Тогда диагональ $\{(1;1),(a;a)\}$ образует подгруппу (2-го порядка) в $G^2$, но не распадается в прямое произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы прямого произведения
Сообщение20.10.2015, 19:21 


03/06/12
2071
Я тут думал и вот что надумал. С вот этим вот
provincialka в сообщении #1064527 писал(а):
Пусть теперь $G_1\times H_1$ - некоторое подгруппа $G\times H$

я, как и сказала provincialka, поторопился. А надо было вот как. Возьму подгруппу
provincialka в сообщении #1064527 писал(а):
$D<G\times H$


Тогда всякий элемент $D$, как элемент группы $G \times H,$ имеет вид $(g,\,h),$ где $g \in G,$ $h \in H.$
Пусть $G_1$ - множество всех первых компонентов $D,$ $H_1$ - множество всех вторых компонентов $D,$ тогда $G_1\subseteq G,$ $H_1\subseteq H.$ Без использования чисел $k$ и $l$ я смогу лишь доказать, что $G_1$ - подмножество $G,$ а $H_1$ - подмножество $H.$ А чтобы доказать, что $D=G_1 \times H_1,$ нужно еще доказать, что если $(g_1,\,h_1) \in D$ и $(g_2,\,h_2) \in D$, то, например, $(g_1,\,h_2) \in D.$ Именно для этого и нужны числа $k$ и $l$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы прямого произведения
Сообщение20.10.2015, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Ну да. И кое-что для этого уже сделано!
Sinoid в сообщении #1064520 писал(а):
Значит, если $(g,\,h)\in G_1\times H_1$, то и $(g,\,1) \in G_1\times H_1$.
Только замените $G_1\times H_1$ на $D$.
И учтите еще:
Цитата:
Подмножество $H$ группы $G$ является ее подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) $H$ содержит произведение любых двух элементов из $H$, (2) $H$ содержит вместе со всяким своим элементом $h$ обратный к нему элемент $h^{-1}$. В случае конечных и, вообще, периодич. групп проверка условия (2) является излишней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы прямого произведения
Сообщение22.10.2015, 13:02 


03/06/12
2071

(Оффтоп)

Прошу прощения за мое исчезновение, просто подул сильный ветер и потух свет, а позавчера сделал Интернет в телефоне, так еще толком не приспособился. Хотя, в принципе, тема и закончена

provincialka в сообщении #1064781 писал(а):
Цитата:

Подмножество $H$ группы $G$ является ее подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) $H$ содержит произведение любых двух элементов из $H$, (2) $H$ содержит вместе со всяким своим элементом $h$ обратный к нему элемент $h^{-1}$. В случае конечных и, вообще, периодич. групп проверка условия (2) является излишней.

Так я потому и писал вот это
Sinoid в сообщении #1064520 писал(а):
Т.к. $\in G_1\times H_1$ - подгруппа, то в нее входит $(g_1g_2,\,1),$ $(1,\,h_1h_2),$ откуда $g_1g_2 \in G_1,$ $h_1h_2 \in H_1.$ С другой стороны, например, $(g_1^{-1},\,h_1^{-1}) \in G_1\times H_1,$

только теперь, понятно, нужно $\in G_1\times H_1$ заменить на $D$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы прямого произведения
Сообщение23.10.2015, 22:03 


03/06/12
2071
Забыл спросить, так, в порядке тренировки. Вот если бы я захотел записать вот это
Sinoid в сообщении #1064775 писал(а):
Пусть $G_1$ - множество всех первых компонентов $D,$

в виде формулы и написал бы, что $G_{1}=\{g\in G\mid\exists h((h\in H)\wedge((g,\, h)\in D)\}$, это было бы верно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group