Имеет ли решение система уравнений

[Melichron]

имеется система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \log_2(2x^3+4x^2y-3x^2) = \log_{11} (4xy^2+24y^3-12y^2)\\ \log_{11}(x^3+6x^2y-3x^2)= \log_2(8xy^2+16y^3-12y^2)\\ \end{array} \right.$$

У меня получается, что она не имеет решения. Но есть сомнение, что я все делаю правильно или что возможно это просто подвох такой в задании.
Помогите разобраться! Если она таки решение имеет, то намекните правильный путь куда копать.

ход моих рассуждений следующий:

вводя замены:
\begin{array}{rcl} 2x+4y-3 = z\\ x+6y-3 = t\\ \end{array}
имеем:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \log_2 (zx^2) = \log_{11} (4ty^2)\\ \log_2(4zy^2)= \log_{11}(tx^2)\\ \end{array} \right.$$

далее, вычитая второе уравнение из первого получаем:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \log_2 (\frac{x^2}{4y^2}) = \log_{11} (\frac{4y^2}{x^2})\\ \log_2(4zy^2)= \log_{11}(tx^2)\\ \end{array} \right.$$

продолжая преобразования первого уравнения приходим к:

$$\ \begin{array}{rcl} -\log_2 (\frac{4y^2}{x^2}) = \log_{11}(2) \log_{2} (\frac{4y^2}{x^2}) \end{array}$$

что означает
$-1 $\ne$ \log_{11}(2)$
т.е. пустое множество

вопрос: правильно ли такое решение и если нет, то что я не учитываю?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[GAA]

Тема перенесена из Карантина в «ПРР (М)»

Как минимум на последнем шаге возможна потеря корней: «нельзя делить на 0», т.е. $4y^2 \ne x^2$.
Остаётся проверить, не потеряли ли корни, путём прямой подстановки в исходные уравнения.

[Melichron]

Да, это я учёл: как видно из исходных уравнений, нулевых корней у системы нет.

[12d3]

Имелось в виду, что $-\log_2 \frac{4y^2}{x^2} = \log_{11}2 \cdot \log_{2} \frac{4y^2}{x^2} \Rightarrow \log_{2} \frac{4y^2}{x^2} = 0$

[Melichron]

Спасибо. Слона я не заметил:(
получается, что исходная система разбивается на три случая.
доковыряю - отпишусь...

[ewert]

Melichron в сообщении #1064315 писал(а):

что исходная система разбивается на четыре случая.

На два, один из которых после подстановки в $z,\;t$ сразу отпадает, а другой приводит к хорошему кубическому уравнению.

[Melichron]

согласен, на два...