Уравнение ctg

[KiberMath]

Решить уравнение
$ctg^2(x) = 3$
Решение
$ctg(x) = \pm \sqrt{3}$
$x_1 = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi \cdot n$
$x_2 = arcctg(\sqrt{3}) + \pi \cdot n$

$x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} + \pi \cdot n$
$x_2 = \frac{\pi}{6}+ \pi \cdot n$
Ошибки вроде бы нет...

В учебнике в ответе написано, что
$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi \cdot n$

Можно как-то привести мой ответ к ответу из учебника?

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

Получаеться что
$x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} + \pi \cdot n$
и
$x_1 = - \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (n-1)$

Одно и тоже? Почему?

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

Получаеться что
$x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} + \pi \cdot n$
и
$x_1 = - \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (n-1)$

Одно и тоже? Почему?

Потму, что n-1=m - произвольное целое число, как и n

[KiberMath]

Brukvalub
Да! Точно Спасибо!

[KiberMath]

Хм.
Есть тригонометрическое уравнение корни которого
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$x= \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k $

Это очень важно обозначать произвольное целое разными буквами? и почему?

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

Это очень важно обозначать произвольное целое разными буквами? и почему?

Все зависит от условия. Если требуется просто решить пример и записать общий ответ, то можно использовать и одну букву. Но если впоследствии придется, скажем, проверить, нет ли в выписанных сериях ответов общих точек, либо как-то еще "обработать" полученные ответы, то зачастую использование в разных сериях одной буквы приводит к абсурдным выводам. Так что мой Вам совет: не ленитесь и всегда в разных сериях ответов используйте разные буквы.

[AD]

KiberMath писал(а):

Это очень важно обозначать произвольное целое разными буквами?

Когда как. Если вы хотите сказать что-то типа "при каждом $n\in\mathbb{Z}$ числа $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x= \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n $ являются решениями такого-то уравнения, и других решений нет", то, конечно, одной буквы $n$ достаточно. А вот когда вы, скажем, решаете систему уравнений, то ответы
$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, $y=\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$
и
$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, $y=\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, $n,m\in\mathbb{Z}$
будут разными.

[KiberMath]

AD
Аха...
Значит в вашем примере
$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, $y=\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$
каждому $x$ cоответствует $y$ с одинаковым значением n
А в другом $x$ и $y$ - "не зависимы"...
Я правильно понимаю?

[AD]

KiberMath писал(а):

Я правильно понимаю?

Да, что-то типа этого. В первом примере имеем для каждого $n\in\mathbb{Z}$ пару чисел $x$ и $y$, вычисленных при этом $n$. А во втором примере пары $(x,y)$ нумеруются двумя параметрами. Правда, $x$ зависит только от одного из них, а $y$ - только от другого, но считайте, что это вышло случайно.

[Алексей К.]

KiberMath писал(а):

Есть тригонометрическое уравнение корни которого
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$x= \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k $

Заметьте (может, это прибавит ясности), что эти решения можно представить так:
$x\in\{-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\}+ 2\pi k $.
Т.е. в этот список попали случаи $n=0,n=-1,k=0$. Тем самым мы перечислили решения в пределах одного периода, $(-\pi,\pi]$, и сказали, что далее всё по кругу повторяется.
Я не хочу сказать, что так надо делать. Но структура решений при этом видна яснее.

[KiberMath]

AD
Разобрался спасибо!
Алексей К.
Да, действительно, яснее. спасибо