2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 13:16 
Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

$f(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2$ на множестве $1\le |x|\le 3$ не меньше $6$.

Переформулируем задачу:

Найти все $a$, при каждом из которых неравенство $g(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2-6\ge 0$ выполняется при всех $x$ на множестве $1\le |x|\le 3$.

Пусть $(x_0,y_0)$ -- вершина параболы. Возможны пять случаев

Изображение

Изображение

Верны ли условия для них?

1) Оранжевая парабола:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x_0\leqslant -3\\
f(-3)\geqslant 0\\
\end{array}
\right.$

2) Сиреневая (или фиолетовая это называется?) парабола:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 -1\leqslant x_0\leqslant 1\\
f(-1)\geqslant 0\\
f(1)\geqslant 0\\
\end{array}
\right.$

3) Зеленая парабола:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x_0\geqslant 3\\
f(3)\geqslant 0 \\
\end{array}
\right.$

Но я еще забыл пару случаев рассмотреть, похоже:

4) Серая

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 -3\leqslant x_0\leqslant -1\\
f(-3)\geqslant 0\\
f(-1)\geqslant 0\\
\end{array}
\right.$

5) Розовая

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 1\leqslant x_0\leqslant 3\\
f(1)\geqslant 0\\
f(3)\geqslant 0\\
\end{array}
\right.$

Причем во всех случаях вершина параболы может лежать как выше оси абсцисс, так и ниже, может лежать и на оси абсцисс. Но я понимаю, что это здесь не важно, но на всех рисунках у меня она выши оси абсцисс. Стоит ли рисовать дополнительные картинки, где она будет ниже оси?

Правильно ли выписаны условия? Есть ли способ сделать это проще?

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 13:54 
Аватара пользователя
А зачем вы используете функцию $f$, если уже ввели $g$? Положение вершины параболы, если она не лежит в заданном множестве, не существенно...
Что касается краткости -- ну, можно объединить несколько случаев. Например, потребовать, чтобы $g(-3)\ge 0, g(-1)\ge 0,g(1)\ge 0,g(3)\ge 0$ и добавить условия на вершину, если она лежит в множестве.

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 15:08 
Аватара пользователя
mr.tumkan2015 в сообщении #1062483 писал(а):
Сиреневая (или фиолетовая это называется?)

А зачем вы рисуете цветами, которые не знаете, как называются? :-)

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 15:15 
provincialka в сообщении #1062497 писал(а):
А зачем вы используете функцию $f$, если уже ввели $g$? Положение вершины параболы, если она не лежит в заданном множестве, не существенно...
Что касается краткости -- ну, можно объединить несколько случаев. Например, потребовать, чтобы $g(-3)\ge 0, g(-1)\ge 0,g(1)\ge 0,g(3)\ge 0$ и добавить условия на вершину, если она лежит в множестве.


Спасибо! А дополнительное условие для точек на множестве -- это то, что ордината вершины параболы неотрицательна?

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 15:39 
Аватара пользователя
Да.

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 16:31 
Аватара пользователя
Похоже, условие на вершину параболы практически излишне. Там в решении неравенств есть небольшой подвох... Есть возможность потерять решение.

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 18:19 
А в чем подвох? Что-то не получается разобраться

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 18:22 
Аватара пользователя
Ну! Сами найдите... Впрочем, может для вас это и не подвох, вы сразу все решения выпишете. А вот скажите, какой у вас получился ответ?

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 21:28 
Я люблю на плоскости $(a,x)$. Рисуем картинку:
Изображение
а потом выписываем ответ.

 
 
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 21:31 
Аватара пользователя
mihailm
О! Здорово! Что-то такое крутилось в голове (точнее, идея перейти от $x$ к $a$). Отличная у вас идея!

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group