2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 13:16 


14/10/15
120
Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции

$f(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2$ на множестве $1\le |x|\le 3$ не меньше $6$.

Переформулируем задачу:

Найти все $a$, при каждом из которых неравенство $g(x)=4x^2+4ax+a^2-2a+2-6\ge 0$ выполняется при всех $x$ на множестве $1\le |x|\le 3$.

Пусть $(x_0,y_0)$ -- вершина параболы. Возможны пять случаев

Изображение

Изображение

Верны ли условия для них?

1) Оранжевая парабола:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x_0\leqslant -3\\
f(-3)\geqslant 0\\
\end{array}
\right.$

2) Сиреневая (или фиолетовая это называется?) парабола:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 -1\leqslant x_0\leqslant 1\\
f(-1)\geqslant 0\\
f(1)\geqslant 0\\
\end{array}
\right.$

3) Зеленая парабола:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x_0\geqslant 3\\
f(3)\geqslant 0 \\
\end{array}
\right.$

Но я еще забыл пару случаев рассмотреть, похоже:

4) Серая

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 -3\leqslant x_0\leqslant -1\\
f(-3)\geqslant 0\\
f(-1)\geqslant 0\\
\end{array}
\right.$

5) Розовая

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 1\leqslant x_0\leqslant 3\\
f(1)\geqslant 0\\
f(3)\geqslant 0\\
\end{array}
\right.$

Причем во всех случаях вершина параболы может лежать как выше оси абсцисс, так и ниже, может лежать и на оси абсцисс. Но я понимаю, что это здесь не важно, но на всех рисунках у меня она выши оси абсцисс. Стоит ли рисовать дополнительные картинки, где она будет ниже оси?

Правильно ли выписаны условия? Есть ли способ сделать это проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А зачем вы используете функцию $f$, если уже ввели $g$? Положение вершины параболы, если она не лежит в заданном множестве, не существенно...
Что касается краткости -- ну, можно объединить несколько случаев. Например, потребовать, чтобы $g(-3)\ge 0, g(-1)\ge 0,g(1)\ge 0,g(3)\ge 0$ и добавить условия на вершину, если она лежит в множестве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mr.tumkan2015 в сообщении #1062483 писал(а):
Сиреневая (или фиолетовая это называется?)

А зачем вы рисуете цветами, которые не знаете, как называются? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 15:15 


14/10/15
120
provincialka в сообщении #1062497 писал(а):
А зачем вы используете функцию $f$, если уже ввели $g$? Положение вершины параболы, если она не лежит в заданном множестве, не существенно...
Что касается краткости -- ну, можно объединить несколько случаев. Например, потребовать, чтобы $g(-3)\ge 0, g(-1)\ge 0,g(1)\ge 0,g(3)\ge 0$ и добавить условия на вершину, если она лежит в множестве.


Спасибо! А дополнительное условие для точек на множестве -- это то, что ордината вершины параболы неотрицательна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 16:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Похоже, условие на вершину параболы практически излишне. Там в решении неравенств есть небольшой подвох... Есть возможность потерять решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 18:19 


14/10/15
120
А в чем подвох? Что-то не получается разобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну! Сами найдите... Впрочем, может для вас это и не подвох, вы сразу все решения выпишете. А вот скажите, какой у вас получился ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 21:28 


19/05/10

3940
Россия
Я люблю на плоскости $(a,x)$. Рисуем картинку:
Изображение
а потом выписываем ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром.
Сообщение14.10.2015, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
mihailm
О! Здорово! Что-то такое крутилось в голове (точнее, идея перейти от $x$ к $a$). Отличная у вас идея!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group