конгруэнция

[FeelUs]

читаю статью Конгруэнция, и там говорится:

Цитата:

На множестве всех конгруэнций данной системы \mathrm{Con}(\mathfrak{A}) определено отношение включения:
\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A :\, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b.
Относительно этого включения множество \mathrm{Con}(\mathfrak{A}) образует полную решётку.

на основании чего я делаю вывод
\forall \theta_1, \theta_2 \in \mathrm{Con}(A) : (\forall a, b \in A : \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b) or (\forall a, b \in A : \, a \,\theta_2\, b \to a \,\theta_1 \, b)

Вопрос: правильно ли я делаю этот вывод, и если да, как его доказать?

И попутно второй вопрос про теорему Ремака: что такое пересечение конгруэнций?

[bot]

FeelUs в сообщении #1062095 писал(а):

на основании чего я делаю вывод

То есть порядок линейный?

FeelUs в сообщении #1062095 писал(а):

что такое пересечение конгруэнций?

Конгруэнция - это некоторое множество. Пересечение конгруэнций - это пересечение множеств.

[FeelUs]

Цитата:

То есть порядок линейный?

Порядок чего?

Цитата:

Конгруэнция - это некоторое множество.

Конгруэнция - это отношение эквивалентности, которое разбивает мн-во А на некоторое определённое множество подмножеств.
Какое множество вы имели ввиду?

[Xaositect]

FeelUs в сообщении #1062485 писал(а):

Конгруэнция - это отношение эквивалентности, которое разбивает мн-во А на некоторое определённое множество подмножеств.
Какое множество вы имели ввиду?

А что такое отношение?

[FeelUs]

OK, с пересечением конгруэнций понятно,

а что с линейным порядком?

[Xaositect]

Линейного порядка не будет, что легко видеть, например, на тривиальном примере алгебраической системы с пустой сигнатурой.

[FeelUs]

Тогда что значит

Цитата:

Относительно этого включения множество $\mathrm{Con}(A)$ образует полную решётку.

?
Может быть относительно объединения/пересечения конгруэнций оно образует полную решетку?

[Xaositect]

Это терминологическая мелочь. Решеткой называют и частичный порядок с супремумами и инфинумами, и алгебраическую систему с двумя операциями.