Помогите решить уравнение

[M94]

Hey Кто-нибудь помогите мне пожалуйста решить уравнение :

$ \frac{ \sqrt{x+1} }{x-1} - \frac{ \sqrt{x-1} }{x+1} = \frac{3}{2} $

[venja]

M94 писал(а):

Hey Кто-нибудь помогите мне пожалуйста решить уравнение :

$ \frac{ \sqrt{x+1} }{x-1} - \frac{ \sqrt{x-1} }{x+1} = \frac{3}{2} $

ОДЗ:x > 1. Ясно, что корни у уравнения есть, т.к. предел левой части при х стремящемся к 1 равен +бесконечности, а при х идущем к + бесконечности предел равен 0, а функция на ОДЗ непрерывна. Докажем, что корень один.
Данное уравнение на ОДЗ равносильно такому:

$(x+1)^{\frac32}-(x-1)^{\frac32}-\frac32(x^2-1)=0$. Пусть
$f(x)=(x+1)^{\frac32}-(x-1)^{\frac32}-\frac32(x^2-1)$.
Докажем, что эта функция монотонно убывает при x > 1, а потому уравнение может иметь не более одного корня (а так как доказано, что корни есть, то корень в точности один). Ее производная
$f'(x)=\frac32 (x+1)^{\frac12}-\frac32(x-1)^{\frac12}-3x$,

Если вычислить вторую производную
$f''(x)=\frac3{4 (x+1)^{\frac12}}-\frac3{4(x-1)^{\frac12}}-3$,
то очевидно, что она отрицательна при x > 1, а потому первая производная убывает. Но так как ясно, что $f'(1) < 0$, то $f'(x) < 0$ для
x > 1, А потому сама функция $f(x)$ действительно убывающая.

Осталось угадать этот единственный корень (если задача учебная, он должен быть неплохой).

P.S. Одного специалиста по угадыванию корней я знаю

[M94]

Спасибо огромное !

Последний номер мне очень нужно ...

$ \large \sqrt{ 5+ 4\sqrt{9-2\sqrt{x}}} = 2\sqrt{13}(13-x) $

[venja]

Где Вы взяли это уравнение? Пока никак

[незваный гость]

Это уравнение сводится к уравнению 8-ой степени. В области определения только один корень, прибл. 12.5499. Думаю, что доказать его единственность должно быть не очень тяжело. Но сомневаюсь, что он выразим в радикалах.