Комплексная тетрация

[fractalon]

(Оффтоп)

Не буду удивлён если на меня обрушаются горы вздохов и facepalm-ов за такой абсурд, но рискну задать вопрос, ибо вопросы подавляемые вредят внутреннему разнообразию

Здравствуйте, уважаемые форумчане! Вот изучаю я математику в меру своего досуга, почитываю что-то про теорию чисел, про аналитическую теорию чисел, про комплексные игрища безграничной фантазии великих мыслителей прошлого. Методы и конкретные доказательства порой поражают, непререкаемо выходят за рамки интуиции и открывают какие-то новые взгляды.
И очень многие из них завязаны на тригонометрических суммах, то бишь на комплексной экспоненте. Прелестей у такой экспоненты много, но эта тема не про неё.
Я подумал, если возведение в комплексную степень открыло такие потрясающие возможности для чистой математики, то что если попробовать... сделать... (мне самому страшно подумать) тетрацию с комплексным показателем.
Если вспомнить, как формально определяется возведение действительного числа в действительную степень, то кажется, что можно так же определить тетрацию с произвольным основанием и показателем - сначала для действительного основания, потом как обратную функцию - с рациональным показателем, потом с иррациональным показателем как предел тех, что с рациональным.
Раз уж эта функция (тетрация как функция от показателя), очевидно, непрерывна, то должен быть ряд Тейлора и соответствующее хотя бы формальное представление тетрации при комплексном показателе (чтоб вывести его как формулу Эйлера для экспоненты).
Умножение на $i$ с последующим прибавлением действительного даёт нам комплексные числа в декартовых координатах.
Возвдение в $i$-ую степень с последующим домножением на действительное даёт нам пользоваться полярными координатами в этом поле.
Что может дать тетрация? Были ли исследования на эту тему?

Чтобы модераторы сильно не ругались сформулирую вопрос формально.
Были ли попытки и насколько это вообще возможно - определить тетрацию с фиксированным основанием $a$ и действительным показателем $x$ как функцию от $x$, найти её производные, построить ряд Тейлора, подставить в него мнимую единицу и найти результат?

[Slav-27]

(Оффтоп)

Думал, ответит кто-нибудь умный, а я почитаю...

fractalon в сообщении #1061872 писал(а):

Были ли исследования на эту тему?

Да конечно были, чем только сейчас народ не страдает.

fractalon в сообщении #1061872 писал(а):

Если вспомнить, как формально определяется возведение действительного числа в действительную степень, то кажется, что можно так же определить тетрацию с произвольным основанием и показателем - сначала для действительного основания, потом как обратную функцию - с рациональным показателем...

А что вы кажется да кажется, вы вот сядьте попробуйте определите хотя бы для рациональных. I promise you a lot of fun.

Насколько мне известно, дело в том, что есть много непрерывных функций, интерполирующих эту вашу тетрацию и удовлетворяющих уравнению $f(x+1)=b^{f(x)}$, и гладких среди них тоже много, так что непонятно, какую именно выбрать.

Так же обстоит дело с расширением на всё $\mathbb{C}$.

Кроме того, эта штука особенно никому не нужна. Показательные и степенные функции постоянно вылазят в физике, а тетрации - нет. Я слышал краем глаза, что решения всяких странных функциональных уравнений с итерациями находят какое-то применение в теории динамических систем, но не знаю, правда ли и относится ли это сюда.

Тем не менее, кто-то придумывает всякие решения и считает их.

Можно почитать статью в Википедии (хотя она, по-моему, неудачная), и первый ответ тут: http://math.stackexchange.com/questions ... tetrations.

[Mentat]

Slav-27 в сообщении #1063204 писал(а):

Показательные и степенные функции постоянно вылазят в физике, а тетрации - нет. Я слышал краем глаза, что решения всяких странных функциональных уравнений с итерациями находят какое-то применение в теории динамических систем, но не знаю, правда ли и относится ли это сюда.

Действительно возникают такие функции в теории хаоса. Конкретно обнаружены в приложении теории к экономическим системам (т.н. эконофизика). Там просто необходимо введение функций, которые растут существенно быстрее экспоненты. Но задачи про разложение таких функций аналитически я там не встречал.

[Torzhok]

Когда-то была статья в журнале "Наука и Жизнь", называлась "Сверхстепень, сверхкорень". Меня она заинтриговала, хотя теории там никакой не было, по сути. Не уверен, что можно давать прямую ссылку, есть книга "Суперфункции", автор - Дмитрий Кузнецов. Несколько глав посвящены тетрации, рассматривается даже пентация. Стиль написания весьма своеобразен, но это единственное известное мне систематическое изложение темы.

[BoBuk]

2 fractalon

Могу вам рассказать много интересного на сей счёт. Но не здесь, в личке. Поскольку здесь уже давно у товарища Мюллера под колпаком.

[Torzhok]

Рассмотрим более общую проблему - операции нецелого порядка. Если считать, что порядок сложения - $1$, а умножения - $2$, то как определить, например, "полуторную" операцию? Будет ли она коммутативна, имеет ли к ней отношение "арифметико-геометрическое среднее"? Для каких порядков справедливо утверждение $2\otimes2=2$? Возможность обобщить для комплексных порядков выглядит диковато, наверное, это сложнее, чем тетрация. Если есть какие-нибудь работы на данную тему, было бы интересно почитать. Пока попадались только разрозненные сообщения на форумах.

[iifat]

Странно. Буквально одна из пяти первых ссылок в гугле ведёт на подробное описание именно что комплексной тетрации. Вы не пробовали погуглить и посмотреть результаты?

[BoBuk]

Ещё один вопрос к топикстартеру. Вы как считаете тетрации, то есть, ассоциативность какая, левая или правая?

[Torzhok]

Если ассоциативность левая, то это итерация степенной функции. Общая формула для натуральных показателей легко обобщается до комплексных, так что ничего принципиально нового не будет.

[BoBuk]

А если правая? Или смешанная?

[Torzhok]

Если правая, то это тетрация, итерация показательной функции. Вроде общепринято, что степенную башню считают справа налево, т.е. с вершины, если нет скобок. Смешанная ассоциативность - это как?

[BoBuk]

Torzhok в сообщении #1069240 писал(а):

Смешанная ассоциативность - это как?

Извиняюсь, что не в маттегах, долго набирать, что-то у меня не получается. Вот пример
f(x) = (x^(x^(x^x)))^(x^x)
В тегах она получится громоздкой и её очень сложно записывать.

[Torzhok]

Слишком много вариантов получается, к тому же как переходить к общему случаю? Конкретно в этом примере тетрацию с показателем 4 возводим в степень тетрации с показателем 2. А если седьмая степень, допустим, будет 5 и 2 - тогда всё сведётся к суперпозиции и придётся по-любому определять тетрацию в общепринятом смысле.

[Someone]

(BoBuk)

BoBuk в сообщении #1069271 писал(а):

Извиняюсь, что не в маттегах, долго набирать, что-то у меня не получается. Вот пример
f(x) = (x^(x^(x^x)))^(x^x)
В тегах она получится громоздкой и её очень сложно записывать.

Поставим по доллару на краях: $f(x) = (x^(x^(x^x)))^(x^x)$.
Плохо.
Заменим круглые скобки фигурными, как положено при написании нижних и верхних индексов: $f(x) = (x^{x^{x^x}})^{x^x}$.
Уже лучше, но оставшиеся круглые скобки слишком маленькие. Для увеличения скобок можно использовать команды \left и \right, которые ставятся перед левой и перед правой скобками: $f(x) = \left(x^{x^{x^x}}\right)^{x^x}$.
Есть и другие команды, управляющие размером скобок.

BoBuk в сообщении #1069271 писал(а):

В тегах она получится громоздкой и её очень сложно записывать.

Мне так не показалось: $f(x) = \left(x^{x^{x^x}}\right)^{x^x}$

[BoBuk]

2 Someone
К сожалению, там вы не правильно написали формулу. Левая её часть не с правой ассоциативностью, а с левой.
И к сожалению, таковые сложные степенные башни очень затруднительно собирать в математических тегах. Вы это невольно подтвердили. Да и нет смысла в этом. Поскольку, в строку они записываются гораздо легче и проще. Но тогда будет нарушение правил форума.