2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Комплексная тетрация
Сообщение13.10.2015, 02:45 


08/09/13
210

(Оффтоп)

Не буду удивлён если на меня обрушаются горы вздохов и facepalm-ов за такой абсурд, но рискну задать вопрос, ибо вопросы подавляемые вредят внутреннему разнообразию

Здравствуйте, уважаемые форумчане! Вот изучаю я математику в меру своего досуга, почитываю что-то про теорию чисел, про аналитическую теорию чисел, про комплексные игрища безграничной фантазии великих мыслителей прошлого. Методы и конкретные доказательства порой поражают, непререкаемо выходят за рамки интуиции и открывают какие-то новые взгляды.
И очень многие из них завязаны на тригонометрических суммах, то бишь на комплексной экспоненте. Прелестей у такой экспоненты много, но эта тема не про неё.
Я подумал, если возведение в комплексную степень открыло такие потрясающие возможности для чистой математики, то что если попробовать... сделать... (мне самому страшно подумать) тетрацию с комплексным показателем.
Если вспомнить, как формально определяется возведение действительного числа в действительную степень, то кажется, что можно так же определить тетрацию с произвольным основанием и показателем - сначала для действительного основания, потом как обратную функцию - с рациональным показателем, потом с иррациональным показателем как предел тех, что с рациональным.
Раз уж эта функция (тетрация как функция от показателя), очевидно, непрерывна, то должен быть ряд Тейлора и соответствующее хотя бы формальное представление тетрации при комплексном показателе (чтоб вывести его как формулу Эйлера для экспоненты).
Умножение на $i$ с последующим прибавлением действительного даёт нам комплексные числа в декартовых координатах.
Возвдение в $i$-ую степень с последующим домножением на действительное даёт нам пользоваться полярными координатами в этом поле.
Что может дать тетрация? Были ли исследования на эту тему?

Чтобы модераторы сильно не ругались сформулирую вопрос формально.
Были ли попытки и насколько это вообще возможно - определить тетрацию с фиксированным основанием $a$ и действительным показателем $x$ как функцию от $x$, найти её производные, построить ряд Тейлора, подставить в него мнимую единицу и найти результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение15.10.2015, 22:19 
Заслуженный участник


14/10/14
1207

(Оффтоп)

Думал, ответит кто-нибудь умный, а я почитаю...


fractalon в сообщении #1061872 писал(а):
Были ли исследования на эту тему?
Да конечно были, чем только сейчас народ не страдает.

fractalon в сообщении #1061872 писал(а):
Если вспомнить, как формально определяется возведение действительного числа в действительную степень, то кажется, что можно так же определить тетрацию с произвольным основанием и показателем - сначала для действительного основания, потом как обратную функцию - с рациональным показателем...
А что вы кажется да кажется, вы вот сядьте попробуйте определите хотя бы для рациональных. I promise you a lot of fun.

Насколько мне известно, дело в том, что есть много непрерывных функций, интерполирующих эту вашу тетрацию и удовлетворяющих уравнению $f(x+1)=b^{f(x)}$, и гладких среди них тоже много, так что непонятно, какую именно выбрать.

Так же обстоит дело с расширением на всё $\mathbb{C}$.

Кроме того, эта штука особенно никому не нужна. Показательные и степенные функции постоянно вылазят в физике, а тетрации - нет. Я слышал краем глаза, что решения всяких странных функциональных уравнений с итерациями находят какое-то применение в теории динамических систем, но не знаю, правда ли и относится ли это сюда.

Тем не менее, кто-то придумывает всякие решения и считает их.

Можно почитать статью в Википедии (хотя она, по-моему, неудачная), и первый ответ тут: http://math.stackexchange.com/questions ... tetrations.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение16.10.2015, 12:56 


05/06/10
123
Донецк, Украина
Slav-27 в сообщении #1063204 писал(а):
Показательные и степенные функции постоянно вылазят в физике, а тетрации - нет. Я слышал краем глаза, что решения всяких странных функциональных уравнений с итерациями находят какое-то применение в теории динамических систем, но не знаю, правда ли и относится ли это сюда.

Действительно возникают такие функции в теории хаоса. Конкретно обнаружены в приложении теории к экономическим системам (т.н. эконофизика). Там просто необходимо введение функций, которые растут существенно быстрее экспоненты. Но задачи про разложение таких функций аналитически я там не встречал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение18.10.2015, 09:14 


18/10/15
5
Когда-то была статья в журнале "Наука и Жизнь", называлась "Сверхстепень, сверхкорень". Меня она заинтриговала, хотя теории там никакой не было, по сути. Не уверен, что можно давать прямую ссылку, есть книга "Суперфункции", автор - Дмитрий Кузнецов. Несколько глав посвящены тетрации, рассматривается даже пентация. Стиль написания весьма своеобразен, но это единственное известное мне систематическое изложение темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 08:07 


24/01/08

333
Череповец
2 fractalon

Могу вам рассказать много интересного на сей счёт. Но не здесь, в личке. Поскольку здесь уже давно у товарища Мюллера под колпаком. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 10:45 


18/10/15
5
Рассмотрим более общую проблему - операции нецелого порядка. Если считать, что порядок сложения - $1$, а умножения - $2$, то как определить, например, "полуторную" операцию? Будет ли она коммутативна, имеет ли к ней отношение "арифметико-геометрическое среднее"? Для каких порядков справедливо утверждение $2\otimes2=2$? Возможность обобщить для комплексных порядков выглядит диковато, наверное, это сложнее, чем тетрация. Если есть какие-нибудь работы на данную тему, было бы интересно почитать. Пока попадались только разрозненные сообщения на форумах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 11:52 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Странно. Буквально одна из пяти первых ссылок в гугле ведёт на подробное описание именно что комплексной тетрации. Вы не пробовали погуглить и посмотреть результаты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 14:17 


24/01/08

333
Череповец
Ещё один вопрос к топикстартеру. Вы как считаете тетрации, то есть, ассоциативность какая, левая или правая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 17:11 


18/10/15
5
Если ассоциативность левая, то это итерация степенной функции. Общая формула для натуральных показателей легко обобщается до комплексных, так что ничего принципиально нового не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 17:25 


24/01/08

333
Череповец
А если правая? Или смешанная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 17:40 


18/10/15
5
Если правая, то это тетрация, итерация показательной функции. Вроде общепринято, что степенную башню считают справа налево, т.е. с вершины, если нет скобок. Смешанная ассоциативность - это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 18:52 


24/01/08

333
Череповец
Torzhok в сообщении #1069240 писал(а):
Смешанная ассоциативность - это как?

Извиняюсь, что не в маттегах, долго набирать, что-то у меня не получается. Вот пример
f(x) = (x^(x^(x^x)))^(x^x)
В тегах она получится громоздкой и её очень сложно записывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 19:44 


18/10/15
5
Слишком много вариантов получается, к тому же как переходить к общему случаю? Конкретно в этом примере тетрацию с показателем 4 возводим в степень тетрации с показателем 2. А если седьмая степень, допустим, будет 5 и 2 - тогда всё сведётся к суперпозиции и придётся по-любому определять тетрацию в общепринятом смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(BoBuk)

BoBuk в сообщении #1069271 писал(а):
Извиняюсь, что не в маттегах, долго набирать, что-то у меня не получается. Вот пример
f(x) = (x^(x^(x^x)))^(x^x)
В тегах она получится громоздкой и её очень сложно записывать.
Поставим по доллару на краях: $f(x) = (x^(x^(x^x)))^(x^x)$.
Плохо.
Заменим круглые скобки фигурными, как положено при написании нижних и верхних индексов: $f(x) = (x^{x^{x^x}})^{x^x}$.
Уже лучше, но оставшиеся круглые скобки слишком маленькие. Для увеличения скобок можно использовать команды \left и \right, которые ставятся перед левой и перед правой скобками: $f(x) = \left(x^{x^{x^x}}\right)^{x^x}$.
Есть и другие команды, управляющие размером скобок.

BoBuk в сообщении #1069271 писал(а):
В тегах она получится громоздкой и её очень сложно записывать.
Мне так не показалось: $f(x) = \left(x^{x^{x^x}}\right)^{x^x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Комплексная тетрация
Сообщение01.11.2015, 21:27 


24/01/08

333
Череповец
2 Someone
К сожалению, там вы не правильно написали формулу. Левая её часть не с правой ассоциативностью, а с левой.
И к сожалению, таковые сложные степенные башни очень затруднительно собирать в математических тегах. Вы это невольно подтвердили. Да и нет смысла в этом. Поскольку, в строку они записываются гораздо легче и проще. Но тогда будет нарушение правил форума.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group