Иррациональное уравнение

[Crypt]

Не получается решить следующее уравнение:
$ \sqrt[3]{7x - 6} + \sqrt[3]{5x + 17} = 5 $

Пытаюсь сделать следующее:
$ 7x - 6 + 5x + 17 + 3 \sqrt[3]{(7x - 6)(5x + 17)}(\sqrt[3]{7x - 6} + \sqrt[3]{5x + 17}) = 125 $ (возвел в 3-ю степень и привел к более удобному варианту)
$ 15 \sqrt[3]{(7x - 6)(5x + 17)} + 12x - 144 = 0 $

И ... ничего не выходит. Я же не буду это возводить в 3-ю степень снова. Там будут получаться очень большие числа, которые, кстати, не особо-то и сократишь.

[Brukvalub]

Угадайте, что х=2 - корень и догадайтесь, как воспользоваться монотонностью, чтобы дорешать задачу.

[venja]

Brukvalub писал(а):

Угадайте, что х=2 - корень ...

[Crypt]

То есть не может быть двух корней поскольку нет четных степеней, модулей?..

[Brukvalub]

Crypt писал(а):

То есть не может быть двух корней поскольку нет четных степеней, модулей?..

Нет, других корней нет потому, что в левой части уравнения находится монотонно возрастающая функция (докажите это!), а такая функция принимает каждое свое значение ровно 1 раз.

[venja]

Crypt писал(а):

То есть не может быть двух корней поскольку нет четных степеней, модулей?..

Это-то здесь при чем?

Что не красным - верно, а дальше ... - Вам же намекали на монотонность.

[Crypt]

Да, понял. Немного ээ неверно сформулировал вопрос ранее.

P.S. Такое уравнение у нас было в школе. Просто что-то не верится, чтобы там пошли таким путем. Хотя, учительница говорит "решила"...

[PAV]

PAV:

Увадаемые участники, просьба в дальнейшем воздерживаться от выделения красным цветом.
Он зарезервирован для модераторов (см. п. I-1-р правил форума).

[Brukvalub]

Crypt писал(а):

Хотя, учительница говорит "решила".

Долго рылся в словаре синонимов, но синонима "школьная учительница математики" к слову "дурак (дура)" так и не нашел. Так что все нормально

[venja]

Crypt писал(а):

Да, понял. Немного ээ неверно сформулировал вопрос ранее.

P.S. Такое уравнение у нас было в школе. Просто что-то не верится, чтобы там пошли таким путем. Хотя, учительница говорит "решила"...

По-видимому, учительница решала стандартным способом для такиз уравнений: возведение в куб обеих частей, слева куб суммы, выносится из двух средних слагаемых общий множитель, а в скобках остается первоначальная сумма корней, которая (в силу уравнения) заменяется на 5 и т.д.

Но нестандартный метод изящнее.

[Алексей К.]

Crypt писал(а):

$ 15 \sqrt[3]{(7x - 6)(5x + 17)} + 12x - 144 = 0 $

И ... ничего не выходит. Я же не буду это возводить в 3-ю степень снова. Там будут получаться очень большие числа, которые, кстати, не особо-то и сократишь.

Странно звучит... После гениального хода в предыдущем упрощении почему бы не возвести

$$ 5 \sqrt[3]{(7x - 6)(5x + 17)} = 48 - 4x$$

в 3-ю степень снова? О том, что их не особо-то и сократишь заранее не известно... Скорее наоборот --- пример учебный, значит, чего-то сократится...

[luitzen]

Алексей К. писал(а):

$$ 5 \sqrt[3]{(7x - 6)(5x + 17)} = 48 - 4x$$

А теперь подставьте вместо икса искомую двоечку
(Это, в сущности, претензия не к Вам, а к Crypt.)

[Алексей К.]

Гы-гы...

[Crypt]

Цитата:

А теперь подставьте вместо икса искомую двоечку

Да, там опечатка. Не 144, а 114.

Цитата:

почему бы не возвести в 3-ю степень снова?

Получается такое замечательное кубическое уравнение:
$ 64x^3 + 2551x^2 + 28453x - 67222 = 0 $

Если подставить x = 2, то будет верное равенство, так что нигде не ошибся.

64 * pow(x, 3) + 2551 * pow(x, 2) + 28453 * x - 67622

По-моему, уже видно, что есть 64 и большие числа не кратные двойке. Ничего хорошего не вижу...

[Brukvalub]

Crypt писал(а):

Получается такое замечательное кубическое уравнение:
$ 64x^3 + 2551x^2 + 28453x - 67222 = 0 $

Делим левую часть на (х-2) (фирма "Безу и Ко"гарантирует деление нацело ), и левая часть "разваливается" в произведение линейного и квадратичного множителей. Ну а дальше: "буквы разные писать тонким пёрышком в тетрадь учат в школе, учат в школе, учат в школе..."