Столкнулся со следующим утверждением: Пусть

линейное пространство, бесконечной размерности, тогда для любого подпространства

существует отличный от нуля линейный функционал на

, равный нулю на

. Я пытался доказать это следующим образом: Пускай

является линейным базисом в подпространстве

, тогда определим линейный функционал

таким образом, чтобы

, теперь же, пользуясь утверждением о том, что любая линейно-независимая система в

может быть дополнена до базиса в

, дополним

до базиса в

. В итоге мы получили линейный функционал

, который равен нулю на

, и(как мне кажется) не равен нулю на

Мне видется, что в этом рассуждение имеются логические дыры, а то оно вообще в корне неверно, прошу помощи, дабы разобраться.