Примитивно рекурсивные функции

[student123]

Помогите, пожалуйста, доказать, что функция является примитивно рекурсивной
$a(i)=i$ цифра числа $5^{1/3} - i$ цифра числа $2^{1/4}$

Насколько я знаю, чтобы это доказать нужно представить функцию $a(i)$ с помощью суперпозиции и примитивной рекурсии из базовых функций $S(x), 0(x), I^n_m$
Получается, что нужно какой-то формулой выразить i цифры. Но как это сделать?
Можно воспользоваться для приближенного вычисления корня формулой $(x_0+\Delta x)^n \approx x_0^n+nx_0^{n-1}\Delta x$ Но какой функцией получить из него i цифру все равно не понятно

[whitefox]

student123 в сообщении #1061452 писал(а):

Но какой функцией получить из него i цифру все равно не понятно

Что получится если некоторое положительное иррациональное число $\alpha,$ например $\sqrt[3]5,$ умножить на $10^i$ и вычислить остаток по модулю 10 от целой части результата?

[student123]

Получиться i+1 цифра числа $a$
Теперь получается нужно доказать, что функции
$f(x,y)=xy, g(i)=10^i, h(x) = x \mod 10$ - примитивно рекурсивные и тогда исходная функция примитивно рекурсивна как их суперпозиция. Так?

[whitefox]

Примерно так

Добавьте ещё функцию $q(x)=\lfloor\sqrt[3]x\rfloor,$ $g(x)$ определите как $g(x)=1000^x,$ а вместо $f(x,y)$ используйте $f(x)=5\cdot x$

Тогда $i$-я цифра (если счёт начинать с нуля) числа $\sqrt[3]5$ определяется формулой . . . Какой?

(mod)

Для бинарной операции $\mod$ предпочтительнее использовать код \bmod.
Сравните:
x\bmod10 — $x\bmod10$
x\mod10 — $x\mod10$