2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 13:34 


11/10/15
8
$t^{2}$$\int\limits_{-r}^{r}$x^{2}dF(x)$ \leqslant 3\left\lvert 1-f(t) \right\rvert$, при $\left\lvert t \right\rvert  \leqslant r$, где $f(t)$ - характеристическая функция, $F(x)$ - функция распределения. Есть какие нибудь идеи по доказательству?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
time4math
Наверное имелось ввиду $|t| \le 1/r$. Чтобы доказать неравенство, воспользуйтесь неравенством $$|1-f(t)|\ge\mathrm{Re}(1-f(t))$$ и неравенством $$\cos{x} \le 1 - x^2/3, \ |x| \le 1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 19:20 


11/10/15
8
ShMaxG в сообщении #1061428 писал(а):
time4math
Наверное имелось ввиду $|t| \le 1/r$. Чтобы доказать неравенство, воспользуйтесь неравенством $$|1-f(t)|\ge\mathrm{Re}(1-f(t))$$ и неравенством $$\cos{x} \le 1 - x^2/3, \ |x| \le 1.$$

Не совсем понятно, как с помощью этих неравенств доказать исходное неравенство? Если использовать первое неравенство, то получается надо доказать более сильное неравенство, что может быть и неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
time4math в сообщении #1061451 писал(а):
Если использовать первое неравенство, то получается надо доказать более сильное неравенство, что может быть и неверно.
В данном случае это "более сильное неравенство" доказывается сравнительно просто, если принять во внимание мое второе неравенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 19:39 


25/08/11

1074
Действительная часть не больше модуля, это ведь очевидно. Как отсюда доказать-тоже не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
sergei1961
Надо просто вспомнить определение характеристической функции, это даст косинус, а потом как по маслу :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 19:51 


11/10/15
8
ShMaxG в сообщении #1061455 писал(а):
sergei1961
Надо просто вспомнить определение характеристической функции, это даст косинус, а потом как по маслу :-)

Косинус то появится и в месте с ним математическое ожидание, все же могли ли бы вы хоть как оформить свою идею?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
$$\left| {1 - f\left( t \right)} \right| \ge {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {1 - f\left( t \right)} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {1 - \cos xt} \right)dF\left( x \right)}  \ge \int\limits_{ - r}^r {\left( {1 - \cos xt} \right)dF\left( x \right)}  \ge \int\limits_{ - r}^r {\frac{{{x^2}{t^2}}}{3}dF\left( x \right)} $$
time4math
Теперь вам все понятно? Задачка, конечно, не простая, хотя все важные шаги на пути ее решения я подсказал. Не так уж и много от вас требовалось...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство в теории вероятности
Сообщение11.10.2015, 20:34 


25/08/11

1074
Спасибо. Само неравенство довольно грубое, как и все неравенства такого типа, основанные на грубых тригонометрических оценках.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group