Компактность окружности

[lv00]

Здравствуйте.

Определение компактности многообразия можно сформулировать следующим образом: многообразие называется компактным, если из любого покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.
Рассмотрим покрытие окружности, устроенное следующим образом: например, в качестве первого элемента выберем полудугу, охватывающую окружность от $0$ до $\pi$ градусов. В качестве второго элемента возьмем другую полудугу, охватывающую от $\pi$ включительно (либо "заезжая" чуть на область первого элемента) до $3 \pi / 2$ и так далее.
В результате получим бесконечную последовательность открытых множеств, в пределе покрывающих окружность, но как выделить из такого покрытия конечное подпокрытие - непонятно (в качестве аналогичного покрытия можно взять любое другое, устроенное таким же образом, как в приведенном мной примере).

Хотя окружность является компактным многообразием.

[Brukvalub]

Вы опишите вое покрытие поточнее - все и разъяснится.

[Xaositect]

А точка, соответствующая углу 0, у нас каким множеством покрывается?

[demolishka]

Как выглядит топология на Вашей окружности? А то

lv00 в сообщении #1060621 писал(а):

охватывающую от $\pi$ включительно

как бы намекает.

[lv00]

demolishka в сообщении #1060628 писал(а):

Как выглядит топология на Вашей окружности? А то

lv00 в сообщении #1060621 писал(а):

охватывающую от $\pi$ включительно

как бы намекает.

Да, тут некорректно (поэтому я и написал в скобках, что можно "заезжать" на соседний элемент покрытия).
Топология - стандартная топология пространства вещественных чисел.

Brukvalub в сообщении #1060624 писал(а):

Вы опишите вое покрытие поточнее - все и разъяснится.

Берем последовательность пересекающихся открытых интервалов на окружности, длина элементов которой убывает с ростом номера $n$ (номера элемента покрытия - номера открытого интервала). В пределе $n \to \infty$ такая последовательность покроет окружность.

Xaositect в сообщении #1060625 писал(а):

А точка, соответствующая углу 0, у нас каким множеством покрывается?

Наивно кажется, что в пределе можно считать, что она все-таки покроется.

[Brukvalub]

lv00 в сообщении #1060654 писал(а):

Берем последовательность пересекающихся открытых интервалов на окружности, длина элементов которой убывает с ростом номера $n$ (номера элемента покрытия - номера открытого интервала). В пределе $n \to \infty$ такая последовательность покроет окружность.

Нет, не покроет.

lv00 в сообщении #1060654 писал(а):

Наивно кажется, что в пределе можно считать, что она все-таки покроется.

А не наивно верится, что не покроется. Докажите строго, что покроется.

[Dan B-Yallay]

lv00 в сообщении #1060654 писал(а):

Наивно кажется, что в пределе можно считать, что она все-таки покроется.

А вот теперь уберите "кажется" подальше, перекреститесь, и докажите обратное.

[demolishka]

lv00, а что получится при таком объединении $\bigcup\limits_n (0;1-\frac{1}{n})?$

[Xaositect]

lv00 в сообщении #1060654 писал(а):

Наивно кажется, что в пределе можно считать, что она все-таки покроется.

Наивно считать не надо, надо считать по определению. Запишите строго свое покрытие и разберитесь, что из него можно убрать.

Множества у нас открытые, значит, если одно из них покрывает точку 0, то покрывает и какую-то ее окрестность. А значит, те маленькие множества, которые у Вас около нуля кучкуются, окажутся не нужны.

[lv00]

Xaositect в сообщении #1060660 писал(а):

lv00 в сообщении #1060654 писал(а):

Наивно кажется, что в пределе можно считать, что она все-таки покроется.

Наивно считать не надо, надо считать по определению. Запишите строго свое покрытие и разберитесь, что из него можно убрать.

Множества у нас открытые, значит, если одно из них покрывает точку 0, то покрывает и какую-то ее окрестность. А значит, те маленькие множества, которые у Вас около нуля кучкуются, окажутся не нужны.

Считаем.
Последовательность интервалов на окружности выглядит так:

$$(0, \pi), \ (\pi - \delta, \pi + \frac{\pi}{2}), \ (\pi + \frac{\pi}{2} - \delta, \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}), \ ... \ , \ (\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + ... + \frac{\pi}{2^{k-2}} - \delta, \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + ... + \frac{\pi}{2^{k-1}}), \ ... $$

Следовательно, нам нужно посчитать предел

$$\lim_{n \to \infty} (\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + ... + \frac{\pi}{2^{n-1}}) = \pi \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 2 \pi \ . $$

Таким образом, выбранные интервалы действительно покрывают окружность. При этом первый элемент покрытия не покрывает точку 0.

[Dan B-Yallay]

lv00 в сообщении #1060902 писал(а):

Таким образом, выбранные интервалы действительно покрывают окружность. При этом первый элемент покрытия не покрывает точку 0.

А какой/который интервал её покрывает?

[Xaositect]

lv00 в сообщении #1060902 писал(а):

Таким образом, выбранные интервалы действительно покрывают окружность. При этом первый элемент покрытия не покрывает точку 0.

А какой покрывает-то?

[lv00]

Dan B-Yallay в сообщении #1060904 писал(а):

lv00 в сообщении #1060902 писал(а):

Таким образом, выбранные интервалы действительно покрывают окружность. При этом первый элемент покрытия не покрывает точку 0.

А какой/который интервал её покрывает?

Ну, раз у нас в пределе покрывается точка $2\pi$, а на окружности (компактной) точки $0$ и $2\pi$ отождествлены, то таким образом точка $0$ покрывается в пределе.

[Xaositect]

Что значит "в пределе покрывается"? Покрывается - это значит, что есть конкретный интервал, который ее покрывает. Какой это интервал?

[мат-ламер]

lv00 в сообщении #1060902 писал(а):

Считаем.
Последовательность интервалов на окружности выглядит так:

$$(0, \pi), \ (\pi - \delta, \pi + \frac{\pi}{2}), \ (\pi + \frac{\pi}{2} - \delta, \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}), \ ... \ , \ (\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + ... + \frac{\pi}{2^{k-2}} - \delta, \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + ... + \frac{\pi}{2^{k-1}}), \ ... $$

Оставим нуль в покое. Всё остальное последовательность интервалов покрывает. Чуть подправив первый отрезок и нуль будет покрывать. Но вот вопрос. А с чего вы взяли, что из данной последовательности нельзя выделить конечную покрывающую подпоследовательность?